經過了對一次函數(shù)、二次函數(shù)各個方面學習的洗禮后，我們也掌握如何徹底地研究一個函數(shù)：定義域、值域、單調性、奇偶性等等。運用這些思路，超級課堂將幫助同學們接收接下來如爆炸般各個基本初等函數(shù)的信息，其中之一就為指數(shù)函數(shù)。面對這突如其來的轟炸，我們將系統(tǒng)、細膩地梳理各個概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，并升華到分數(shù)指數(shù)、無理數(shù)指數(shù)、指數(shù)型復合函數(shù)的層面，帶給大家“吃透炸彈”的快感！
-
1、介紹了$n$次方根的概念及相關概念
2、
介紹$n$次方根的兩條運算性質，性質一，$(\sqrt[n]{a})^{n}=a$，當$n$為偶數(shù)時有$a\geq 0$的隱含條件。性質二，(1)當$n$為奇數(shù)時，$\sqrt[n]{a^{n}}=a$；(2)當$n$為偶數(shù)時，$\sqrt[n]{a^{n}}=\left | a \right |=\left\{\begin{matrix} a,a\geq 0\\ -a,a＜0\end{matrix}\right. $
-
1、利用根式的兩條性質來進行化簡時，可以由根指數(shù)$n$為偶數(shù)，被開方數(shù)$\geq 0$的隱含條件，得到$a$的范圍，然后化簡根式。而反過來，也可以根據化簡結果來反推字母的取值范圍
2、
化簡根式還能幫我們解無理方程，解無理方程的基本思想就是去根號，化為有理方程
3、
化簡復合二次根式$\sqrt{A\pm \sqrt{B}}$的方法：觀察法、待定系數(shù)法、平方法
-
1、實數(shù)指數(shù)冪包括有理數(shù)指數(shù)冪與無理數(shù)指數(shù)冪，其中有理數(shù)指數(shù)冪包括整數(shù)指數(shù)冪與分數(shù)指數(shù)冪
2、
正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪是根式的另一種寫法
3、
在把根式轉化為分數(shù)指數(shù)冪與的過程中，如果底數(shù)對應的數(shù)或代數(shù)式是負值，則必須先利用偶次方將負數(shù)或負值代數(shù)式化為正數(shù)或正值代數(shù)式后，才能化為分數(shù)指數(shù)冪
4、
無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實數(shù)，在數(shù)軸上可以找到與之對應的點
-
1、性質一，同底數(shù)冪相乘——底數(shù)不變，指數(shù)相加；性質二，冪的乘方——底數(shù)不變，指數(shù)相乘；性質三，積的乘方——等于乘方的積。其中$a>
2、
0$，$b>
3、
0$，$m$，$n\in R$
4、
性質一可以得到一個除法的推論，即$\dfrac{a^{m}}{b^{n}}=a^{m}\dfrac{1}{a^{n}}=a^{m}a^{-n}=a^{m-n}$；性質三也可以得到除法的推論，即$(\dfrac{a})^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}$
5、
一定要注意底數(shù)大于$0$的前提，如果底數(shù)是負數(shù)或負值代數(shù)式，則一定要將它轉化為正數(shù)或正值代數(shù)式
-
1、學習冪運算三大性質的綜合運用
2、
冪運算的三大性質在題目中的使用非常普遍，在這節(jié)課的題目中，三條性質全部都用上了，還得到一個能幫你快速解題的結論，大家要記住
-
1、對于分數(shù)指數(shù)冪$a^{\dfrac{m}{n}}$的求值，如果指數(shù)的分母$n$較大，通常我們會先將底數(shù)$a$化成某個數(shù)的$n$次方
2、
對于分數(shù)指數(shù)冪之間的乘除運算，注意兩點：(1)系數(shù)與同底數(shù)冪要分開運算；(2)同底數(shù)冪相乘，指數(shù)相加；相除，指數(shù)相減
3、
運算中要注意“先化簡再代入計算”的原則
-
1、學習分數(shù)指數(shù)冪運算的第三種題型，根式運算。把根式化成分數(shù)指數(shù)冪，運算起來會簡單很多
2、
注意在化簡多重根式時，要由內向外層層轉化
-
1、學習分數(shù)指數(shù)冪運算的第四種題型：運用代數(shù)公式進行化簡
2、
要熟悉三種常用的代數(shù)公式進行式子的化簡
-
1、了解一個特定結構的化簡結論：$(a^{n}+a^{-n})^{2}-(a^{n}-a^{-n})^{2}=4$，$a＞0$，$n\in R$
-
1、掌握指數(shù)函數(shù)的定義，注意判斷指數(shù)函數(shù)的幾個易錯點
2、
求指數(shù)函數(shù)解析式的常用方法是待定系數(shù)法，注意不能取$x=0$，$y=1$
-
1、了解指數(shù)函數(shù)的圖象與性質：底數(shù)$a$按照是否大于$1$分成兩類，大于$1$時，是遞增的曲線；大于$0$小于$1$則是遞減的曲線
2、
它們都經過$(0,1)$這點，都一端趨近于$x$軸，一端無限上升。且$y=a^{x}$和$y=(\dfrac{1}{a})^{x}$的圖象關于$y$軸對稱
-
1、解決幾道指數(shù)函數(shù)圖象與最值函數(shù)、絕對值函數(shù)、分段函數(shù)圖象結合的求值域的題目，旨在幫助大家熟悉指數(shù)函數(shù)的圖象
-
1、?由單調性求字母范圍時，單增推出$a$大于$1$，單減推出$0$小于$a$小于$1$
2、
注意組合函數(shù)和分段函數(shù)單調性的判斷，這些內容都在之前的函數(shù)章節(jié)重點強調過的，忘記的同學記得返回觀看哦
-
1、解決與值域相關的問題時，當?shù)讛?shù)固定時，根據單調性，結合圖象就能求出相應區(qū)間內的值域
2、
當?shù)讛?shù)不固定，有未知字母時。有些問題不需要討論底數(shù)，比如恒成立問題，及最值之和的問題；而有些問題需要搞清哪個是最大值，哪個是最小值，這時就要分類討論了，比如最值之差的問題
-
1、利用指數(shù)函數(shù)的單調性解決第一類指數(shù)不等式$a^{f(x)}＞a^{g(x)}$。若$a＞1$，則指數(shù)函數(shù)$y=a^{x}$單調遞增，由函數(shù)值的大小關系和指數(shù)的大小關系一致。若$0＜a＜1$，則指數(shù)函數(shù)$y=a^{x}$單調遞減，由函數(shù)值的大小關系和指數(shù)的大小關系相反
2、
需要注意兩點：(1)若底數(shù)不確定，需要分類討論；(2)要化為同底數(shù)冪形式
-
1、對于第二類指數(shù)不等式$A\cdot a^{2x}+B\cdot a^{x}+C＞0$，不等式的左邊可以看成是指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)構成的復合函數(shù)。所以可以采用換元法，將$a^{x}$整體換成$t$，化為$At^{2}+Bt+C＞0$
2、
再通過圖象求$t$的范圍，進而求$x$的范圍。要注意一點$t＞0$
-
1、學習比較指數(shù)冪的值的大小的第一種題型——底數(shù)相同，指數(shù)不同
2、
底數(shù)相同，指數(shù)不同時，利用指數(shù)函數(shù)的單調性比較即可
-
1、學習指數(shù)冪大小比較的第二種題型——指數(shù)相同，底數(shù)不同。有兩種方法：圖象法或作商法
2、
圖象法的基本原理是：當?shù)讛?shù)都大于$1$時，底數(shù)越大，指數(shù)函數(shù)的曲線就越陡。當?shù)讛?shù)都大于$0$小于$1$時，底數(shù)越小，指數(shù)函數(shù)的曲線就越陡。通過圖象的高低就能判斷出同指數(shù)時，函數(shù)值的大小了
3、
作商法，即把指數(shù)冪相除，再看指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值是大于$1$，還是小于$1$即可
-
1、學習判斷底數(shù)不同且指數(shù)不同的冪的大小的前兩種常用技巧：標準值法，圖象法
2、
標準值法，就是選取一個大小位于它們之間的標準值，把兩個指數(shù)冪分別與這個標準值比較
3、
圖象法，只要將各個圖象畫在同一個坐標系，然后去找相應的函數(shù)值
-
1、學習判斷底數(shù)不同且指數(shù)不同的冪的大小的第三種技巧乘方化整法，即把它們同時$k$次方
2、
如果$(a^{m})^{k}＞(b^{n})^{k}$，則$a^{m}＞b^{n}$；如果$(a^{m})^{k}＜(b^{n})^{k}$，則$a^{m}＜b^{n}$。一般$k$次方后，冪會變成一個整數(shù)，所以$(a^{m})^{k}$和$(b^{n})^{k}$的大小很好比較
3、
最后一道題，滴水不漏的證明$B＞A$，難度非常大，尤其是分子分母同除以的那個式子，可謂神來之筆，大家要好好體會
-
1、指數(shù)型復合函數(shù)定義域的求法，依舊遵守由外向內的原則
2、
指數(shù)型復合函數(shù)過定點的問題有兩種情況：對于外層為指數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)，$y=a^{f(x)}$，如果$f(m)=0$，則$y=1$。即$x=m$時，$y=1$，復合函數(shù)過定點$(m,1)$。對于內層為指數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)，即$y=f(a^{x})$，當$x=0$時，$a^{x}=1$，$y$就一定等于$f(1)$，復合函數(shù)過定點$(0,f(1))$
-
1、指數(shù)型復合函數(shù)單調性，依舊和復合函數(shù)單調性一樣，通過同增異減來確定復合后整體的單調性
-
1、認識如何用定義法證明單調性。當題目要你證明單調性時，就必須用定義法來操作
-
1、介紹外層函數(shù)為指數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)值域的求解
2、
它依舊遵循由內向外的原則。在具體求解時，可以用換元法，令內層函數(shù)為$t$。然后由$x$的范圍求內層函數(shù)$t$的值域，在把$t$的值域當成外層函數(shù)定義域，求外層函數(shù)值域，即復合函數(shù)值域
3、
當指數(shù)函數(shù)的底數(shù)不確定時，要注意分類討論
-
1、介紹內層函數(shù)為指數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)值域的求解
2、
依舊遵循由內向外的原則。在具體求解時，可以用換元法
3、
當二次函數(shù)系數(shù)不確定時，注意分類討論
-
1、講解了一道指數(shù)型復合函數(shù)的綜合題
2、
除了遵循了內層函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)由內向外求值域的原則，還用到了第一類、第二類對勾函數(shù)的特性，增減性，奇偶性的知識，學員們要認真體會
-
指數(shù)及指數(shù)函數(shù)綜合練習
Android
iPhone.png)
超級學員
超級學員3806409
app端下載
添加客服