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如果說(shuō)指數(shù)的概念在初中就似曾相識(shí)甚至根深蒂固的話，那么對(duì)數(shù)的概念就是全然一新但又與指數(shù)千絲萬(wàn)縷。在本章中，超級(jí)課堂將帶你學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的概念，帶你理清冪、指數(shù)、對(duì)數(shù)之間的關(guān)系。充分熟悉之后，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)、換底公式等對(duì)數(shù)函數(shù)特有的性質(zhì)，甚至可以輕松解決指數(shù)方程的問(wèn)題。還等什么，快和超級(jí)課堂一起玩轉(zhuǎn)指數(shù)方程與對(duì)數(shù)。
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1、學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的定義，以及對(duì)數(shù)式和指數(shù)式的關(guān)系
2、
掌握兩種重要的對(duì)數(shù)：常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù)
3、
掌握指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化規(guī)則
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1、學(xué)習(xí)底數(shù)、真數(shù)和對(duì)數(shù)這三個(gè)量“知二求一”的計(jì)算
2、
原理是將對(duì)數(shù)式化為相應(yīng)指數(shù)式，通過(guò)指數(shù)運(yùn)算計(jì)算未知量
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1、性質(zhì)(1)：負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)，即真數(shù)必須大于$0$。所以對(duì)數(shù)式$log_{a}N$中對(duì)于$a$和$N$分別有限定：$a＞0$且$a\neq 1$，$N＞0$
2、
性質(zhì)(2)：對(duì)數(shù)恒等式一：$1$的對(duì)數(shù)等于零，即$log_{a}1=0$$(a＞0且a\neq 1)$
3、
性質(zhì)(3)：對(duì)數(shù)恒等式二：底數(shù)的對(duì)數(shù)等于$1$，即$log_{a}a=1$$(a＞0且a\neq 1)$
4、
性質(zhì)(4)：對(duì)數(shù)恒等式三：$log_{a}a^{n}=n$$(a＞0且a\neq 1,n\in R)$
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1、?性質(zhì)(5)：對(duì)數(shù)恒等式四：$alog_{a}N=N$$(a＞0且a\neq 1,N＞0)$
2、
特點(diǎn)是，兩個(gè)底數(shù)相同，可以理解為兩種運(yùn)算的相互抵消；若底數(shù)不同就需要先化同底
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1、?對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)一，它被稱為積的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則
2、
性質(zhì)一及其逆用，就是在“真數(shù)積”和“對(duì)數(shù)和”兩種形式間的轉(zhuǎn)化
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1、?對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)二，被稱為商的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則
2、
性質(zhì)二及其逆用，就是在“真數(shù)商”和“對(duì)數(shù)差”兩種形式間的轉(zhuǎn)化
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1、?對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)三，被稱為冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則
2、
性質(zhì)三及其逆用，就是把“真數(shù)的指數(shù)”和“對(duì)數(shù)的系數(shù)”進(jìn)行互化
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1、題型一是同底數(shù)對(duì)數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化
2、
關(guān)鍵就是化真數(shù)，將所求對(duì)數(shù)式的真數(shù)拆分成已知對(duì)數(shù)式真數(shù)或底數(shù)的積、商、冪，再利用三個(gè)性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)
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1、?題型二是化簡(jiǎn)復(fù)雜對(duì)數(shù)式
2、
除了靈活運(yùn)用三種性質(zhì)，還要敏銳地發(fā)現(xiàn)公因式，及完全平方，平方差的結(jié)構(gòu)，從而完成化簡(jiǎn)
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1、題型三是對(duì)數(shù)式求值
2、
要注意，為了提取指數(shù)，要使用性質(zhì)三，且如果底數(shù)是$10$，一般都用常用對(duì)數(shù)
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1、換底公式：正用時(shí)，對(duì)數(shù)式的底數(shù)變成了分母的真數(shù)，真數(shù)變成了分子的真數(shù)，底數(shù)換成一個(gè)新的數(shù)。底數(shù)可以在大于$0$且不等于$1$的范圍內(nèi)任意選擇
2、
逆用時(shí)，同底數(shù)對(duì)數(shù)式的底數(shù)消掉，分母的真數(shù)變成底數(shù)，分子的真數(shù)變成真數(shù)，從而化為一個(gè)對(duì)數(shù)式。要通過(guò)結(jié)構(gòu)上的特征來(lái)記住它
3、
換底公式的第一種應(yīng)用是不同底數(shù)對(duì)數(shù)間的互相表示，大致可以按照三步走：換底-化簡(jiǎn)-帶入
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1、?換底公式的第二種應(yīng)用是計(jì)算或化簡(jiǎn)對(duì)數(shù)式相乘
2、
通過(guò)換底公式，把每個(gè)對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)相除的形式，通常換成常用對(duì)數(shù)的商
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1、換底公式的推論一特點(diǎn)是真數(shù)的指數(shù)提前變分子，底數(shù)的指數(shù)提前變分母。如果底數(shù)和真數(shù)的指數(shù)相同，可以在對(duì)數(shù)式內(nèi)部直接約掉。此外，將底數(shù)和真數(shù)同時(shí)$k$次方，則可以保持對(duì)數(shù)式的恒等變形
2、
換底公式的推論二的特點(diǎn)是當(dāng)兩個(gè)對(duì)數(shù)式的底數(shù)與真數(shù)是位置調(diào)換的關(guān)系時(shí)，這兩個(gè)對(duì)數(shù)互為倒數(shù)，乘積為$1$
3、
結(jié)合推論一和推論二一起解決一道小題
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1、通過(guò)幾道例題介紹換底公式推論二的逆用
2、
當(dāng)條件或結(jié)論出現(xiàn)了對(duì)數(shù)的倒數(shù)結(jié)構(gòu)時(shí)，不妨試一下推論二
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1、第一類指數(shù)方程：要利用對(duì)數(shù)將它化為整式方程
2、
第二類指數(shù)方程：同底數(shù)是關(guān)鍵，如果不同底，就要努力化同底。然后得到指數(shù)相等的關(guān)系，化為整式方程
3、
第三類指數(shù)方程：可以在兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，化為整式方程
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1、第四類指數(shù)方程的解題技巧的基本形式是：$f(a^{x})=0$
2、
處理它的基本方式就是換元法，令$a^{x}$整體為$t$，這樣原式就能化為$f(t)=0$。它相當(dāng)于求復(fù)合函數(shù)等于$0$時(shí)的$x$值
3、
要注意$t$必須大于$0$，否則沒有對(duì)應(yīng)的$x$
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1、學(xué)習(xí)關(guān)于第四類指數(shù)方程的一些特殊題型。通過(guò)判別式和韋達(dá)定理，對(duì)根的分布進(jìn)行限定時(shí)，要注意，換元后，只有正根$t$才會(huì)對(duì)應(yīng)$x$。負(fù)根、零根都不對(duì)應(yīng)$x$
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