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金字塔模型、蝴蝶定理及其變式（包括燕尾定理）是解決復(fù)雜幾何問(wèn)題的關(guān)鍵工具。平行線法通過(guò)在三角形一邊上特定位置的點(diǎn)作另一邊的平行線，構(gòu)建金字塔模型，幫助求解三角形中的比例問(wèn)題。蝴蝶定理描述了被對(duì)角線分割的四邊形中四個(gè)三角形的面積關(guān)系，分為比例式和乘積式兩種形式。蝴蝶定理公式二進(jìn)一步提供了具有公共邊的兩個(gè)三角形面積比的規(guī)律，即面積比等于相應(yīng)頂點(diǎn)到交點(diǎn)的距離之比。燕尾定理作為蝴蝶定理的特殊情況，適用于三角形內(nèi)部的兩個(gè)共邊三角形，其面積比等于公共邊延長(zhǎng)線分另一邊的比例。這些定理不僅簡(jiǎn)化了幾何問(wèn)題的求解過(guò)程，還提高了解題的效率和準(zhǔn)確性。

• 構(gòu)造金字塔模型上—直接作平行線法

  08:32

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  1、直接作平行線最常見的方式就是過(guò)三角形一邊上特定位置的點(diǎn)，作另一邊的平行線，從而構(gòu)建金字塔模型
  2、 平行線能幫我們求出BC邊被分割成的線段的比例，為在金字塔模型中求相似比和面積比直接提供了條件
  3、 這種圖形涉及三個(gè)點(diǎn)分四條線段的四個(gè)比例。只要畫出平行線，構(gòu)造出兩個(gè)金字塔模型，就能由其中兩個(gè)比例，求出另外兩個(gè)比例
  4、
  
• 梯形中的比例—直接作平行線法中

  06:11

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  1、平行于梯形上下底的直線，和兩腰的交點(diǎn)在腰上的位置相同，$\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{DF}{FC}$
  2、 最后一道難題，關(guān)鍵是作出平行線后，求出三個(gè)比例。M分PG的比例和N分GQ的比例，要用兩組沙漏模型來(lái)求
  
• 構(gòu)造金字塔模型—間接作平行線法下

  09:25

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  1、第一種間接構(gòu)造平行線的方式，是根據(jù)面積比的條件來(lái)作高，從而得到兩條平行線，構(gòu)造出金字塔模型；第二種間接構(gòu)造平行線的方式，是連接三角形兩邊相同位置的點(diǎn)，形成底邊的平行線。
  
• 被對(duì)角線分割的四邊形—蝴蝶定理公式一上

  05:24

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  1、主要內(nèi)容就是蝴蝶定理的公式一，它描述了在被對(duì)角線分割的四邊形中，四個(gè)三角形的面積關(guān)系
  2、 它有兩種形式。一種是比例式，可以記作相鄰的兩組三角形面積比例相等，只要確保內(nèi)部誰(shuí)比誰(shuí)的方向一致就很容易記住
  3、 另一種是乘積式，可以記作相對(duì)的兩個(gè)三角形面積的乘積相等。
  
• 被對(duì)角線分割的四邊形—蝴蝶定理公式一下

  07:41

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  1、主要內(nèi)容就是在梯形中運(yùn)用蝴蝶定理，常用的結(jié)論有四條$S_{上}:S_{左}:S_{右}:S_{下}=a^{2}:ab:ab:b^{2}$
  2、 靈活運(yùn)用能幫助我們求這四個(gè)三角形的面積
  3、 要注意圖中的交叉線段，添加輔助線就能構(gòu)造蝴蝶定理的模型。
  
• 同底三角形面積比的變式—蝴蝶定理公式二上

  05:02

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  1、蝴蝶定理的公式二：$\dfrac{S_{\triangle ADC}}{S_{\triangle ABC} }$$=\dfrac{OD}{OB}$，$\dfrac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle CBD} }$$=\dfrac{OA}{OC}$
  2、 利用公式二得到的具有公共邊的兩個(gè)三角形的面積比規(guī)律：若兩個(gè)三角形具有公共邊，將另外兩個(gè)頂點(diǎn)相連與公共邊交于一點(diǎn)，則它們的面積比等于相應(yīng)頂點(diǎn)到交點(diǎn)的距離之比
  3、 在同一方向上，大三角形的面積比，等于小三角形的面積比，等于該方向上對(duì)角線被分成的兩節(jié)線段的長(zhǎng)度比
  4、 把公式二的模型簡(jiǎn)化一下，可以看成“同底三角形面積比等于高之比”的一種變式
  5、 無(wú)論這兩個(gè)三角形是鈍角三角形，還是它們?cè)谕瑐?cè)，結(jié)論依舊成立
  
• 同底三角形面積比的變式—蝴蝶定理公式二下

  09:51

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  1、三道例題，都不算簡(jiǎn)單
  2、 仔細(xì)回顧這三道題，同學(xué)們就能對(duì)圖中隱藏的蝴蝶定理模型更敏感，在之后的題目中也能更順利地利用公式二求出面積比例
  
• 解決四線三點(diǎn)問(wèn)題的捷徑—蝴蝶定理公式二的綜合運(yùn)用上

  07:42

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  1、主要內(nèi)容就是蝴蝶定理公式二的逆用，根據(jù)有公共邊的三角形的面積比得到線段比
  2、 對(duì)于涉及三角形中三個(gè)點(diǎn)在四條線段的位置的題目，就可以把邊上的兩個(gè)點(diǎn)連起來(lái)，用蝴蝶定理公式二去解
  3、 再求三角形面積的過(guò)程中，我們要注意利用中介三角形來(lái)寫出面積連比。
  
• 復(fù)雜圖形中隱蔽的蝴蝶定理模型—蝴蝶定理公式二的綜合運(yùn)用下

  10:30

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  1、相比之前的題目，本節(jié)課的兩道題在使用蝴蝶定理公式二時(shí)，就很隱蔽，所以難度也增大了不少
  2、 同學(xué)們要仔細(xì)體會(huì)這兩道題在思路上的步驟
  
• 蝴蝶定理公式二的特殊情況—燕尾定理上

  05:16

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  1、?燕尾定理是蝴蝶定理公式二的一種特殊情況，即三角形內(nèi)部的兩個(gè)共邊三角形的面積比，等于公共邊的延長(zhǎng)線分另一邊的比例
  2、 燕尾定理應(yīng)用的常見圖形，只要解出三個(gè)小三角形面積的連比，那么三條邊上點(diǎn)的位置就能根據(jù)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)三角形的面積比確定。
  
• 蝴蝶定理公式二的特殊情況—燕尾定理下

  10:58

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  1、用燕尾定理解決了三道難度較大的題目。第一題，燕尾定理幫我們用面積比推出了點(diǎn)的位置
  2、 第二題，當(dāng)我們得到多組面積比時(shí)，可以考慮列方程
  3、 第三題，要用輔助線代替干擾線段，構(gòu)造燕尾定理模型。
  
• 利用燕尾定理求復(fù)雜面積上—角四邊形的面積

  09:48

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  1、用燕尾定理求角四邊形面積，要連接三角形的頂點(diǎn)與內(nèi)部的交點(diǎn)。把角四邊形分割成兩個(gè)三角形后，再用燕尾定理求出內(nèi)部所有三角形的面積比。
  
• 利用燕尾定理求復(fù)雜面積下—三角形內(nèi)部的交織圖形

  13:55

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  1、用燕尾定理求三角形內(nèi)部交織圖形的面積
  2、 用燕尾定理求一塊更大的三角形的面積，再減去前一塊圖形的面積，或求同高三角形的面積