經過了對一次函數、二次函數各個方面學習的洗禮后，我們也掌握如何徹底地研究一個函數：定義域、值域、單調性、奇偶性等等。運用這些思路，超級課堂將幫助同學們接收接下來如爆炸般各個基本初等函數的信息，其中之一就為指數函數。面對這突如其來的轟炸，我們將系統(tǒng)、細膩地梳理各個概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，并升華到分數指數、無理數指數、指數型復合函數的層面，帶給大家“吃透炸彈”的快感！
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1、介紹了$n$次方根的概念及相關概念
2、
介紹$n$次方根的兩條運算性質，性質一，$(\sqrt[n]{a})^{n}=a$，當$n$為偶數時有$a\geq 0$的隱含條件。性質二，(1)當$n$為奇數時，$\sqrt[n]{a^{n}}=a$；(2)當$n$為偶數時，$\sqrt[n]{a^{n}}=\left | a \right |=\left\{\begin{matrix} a,a\geq 0\\ -a,a＜0\end{matrix}\right. $
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1、利用根式的兩條性質來進行化簡時，可以由根指數$n$為偶數，被開方數$\geq 0$的隱含條件，得到$a$的范圍，然后化簡根式。而反過來，也可以根據化簡結果來反推字母的取值范圍
2、
化簡根式還能幫我們解無理方程，解無理方程的基本思想就是去根號，化為有理方程
3、
化簡復合二次根式$\sqrt{A\pm \sqrt{B}}$的方法：觀察法、待定系數法、平方法
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1、實數指數冪包括有理數指數冪與無理數指數冪，其中有理數指數冪包括整數指數冪與分數指數冪
2、
正數的分數指數冪是根式的另一種寫法
3、
在把根式轉化為分數指數冪與的過程中，如果底數對應的數或代數式是負值，則必須先利用偶次方將負數或負值代數式化為正數或正值代數式后，才能化為分數指數冪
4、
無理數指數冪是一個確定的實數，在數軸上可以找到與之對應的點
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1、性質一，同底數冪相乘——底數不變，指數相加；性質二，冪的乘方——底數不變，指數相乘；性質三，積的乘方——等于乘方的積。其中$a>
2、
0$，$b>
3、
0$，$m$，$n\in R$
4、
性質一可以得到一個除法的推論，即$\dfrac{a^{m}}{b^{n}}=a^{m}\dfrac{1}{a^{n}}=a^{m}a^{-n}=a^{m-n}$；性質三也可以得到除法的推論，即$(\dfrac{a})^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}$
5、
一定要注意底數大于$0$的前提，如果底數是負數或負值代數式，則一定要將它轉化為正數或正值代數式
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1、學習冪運算三大性質的綜合運用
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冪運算的三大性質在題目中的使用非常普遍，在這節(jié)課的題目中，三條性質全部都用上了，還得到一個能幫你快速解題的結論，大家要記住
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1、對于分數指數冪$a^{\dfrac{m}{n}}$的求值，如果指數的分母$n$較大，通常我們會先將底數$a$化成某個數的$n$次方
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對于分數指數冪之間的乘除運算，注意兩點：(1)系數與同底數冪要分開運算；(2)同底數冪相乘，指數相加；相除，指數相減
3、
運算中要注意“先化簡再代入計算”的原則
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1、學習分數指數冪運算的第三種題型，根式運算。把根式化成分數指數冪，運算起來會簡單很多
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注意在化簡多重根式時，要由內向外層層轉化
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1、學習分數指數冪運算的第四種題型：運用代數公式進行化簡
2、
要熟悉三種常用的代數公式進行式子的化簡
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1、了解一個特定結構的化簡結論：$(a^{n}+a^{-n})^{2}-(a^{n}-a^{-n})^{2}=4$，$a＞0$，$n\in R$
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1、掌握指數函數的定義，注意判斷指數函數的幾個易錯點
2、
求指數函數解析式的常用方法是待定系數法，注意不能取$x=0$，$y=1$
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1、了解指數函數的圖象與性質：底數$a$按照是否大于$1$分成兩類，大于$1$時，是遞增的曲線；大于$0$小于$1$則是遞減的曲線
2、
它們都經過$(0,1)$這點，都一端趨近于$x$軸，一端無限上升。且$y=a^{x}$和$y=(\dfrac{1}{a})^{x}$的圖象關于$y$軸對稱
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1、解決幾道指數函數圖象與最值函數、絕對值函數、分段函數圖象結合的求值域的題目，旨在幫助大家熟悉指數函數的圖象
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1、?由單調性求字母范圍時，單增推出$a$大于$1$，單減推出$0$小于$a$小于$1$
2、
注意組合函數和分段函數單調性的判斷，這些內容都在之前的函數章節(jié)重點強調過的，忘記的同學記得返回觀看哦
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1、解決與值域相關的問題時，當底數固定時，根據單調性，結合圖象就能求出相應區(qū)間內的值域
2、
當底數不固定，有未知字母時。有些問題不需要討論底數，比如恒成立問題，及最值之和的問題；而有些問題需要搞清哪個是最大值，哪個是最小值，這時就要分類討論了，比如最值之差的問題
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1、利用指數函數的單調性解決第一類指數不等式$a^{f(x)}＞a^{g(x)}$。若$a＞1$，則指數函數$y=a^{x}$單調遞增，由函數值的大小關系和指數的大小關系一致。若$0＜a＜1$，則指數函數$y=a^{x}$單調遞減，由函數值的大小關系和指數的大小關系相反
2、
需要注意兩點：(1)若底數不確定，需要分類討論；(2)要化為同底數冪形式
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1、對于第二類指數不等式$A\cdot a^{2x}+B\cdot a^{x}+C＞0$，不等式的左邊可以看成是指數函數和二次函數構成的復合函數。所以可以采用換元法，將$a^{x}$整體換成$t$，化為$At^{2}+Bt+C＞0$
2、
再通過圖象求$t$的范圍，進而求$x$的范圍。要注意一點$t＞0$
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1、學習比較指數冪的值的大小的第一種題型——底數相同，指數不同
2、
底數相同，指數不同時，利用指數函數的單調性比較即可
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1、學習指數冪大小比較的第二種題型——指數相同，底數不同。有兩種方法：圖象法或作商法
2、
圖象法的基本原理是：當底數都大于$1$時，底數越大，指數函數的曲線就越陡。當底數都大于$0$小于$1$時，底數越小，指數函數的曲線就越陡。通過圖象的高低就能判斷出同指數時，函數值的大小了
3、
作商法，即把指數冪相除，再看指數函數的函數值是大于$1$，還是小于$1$即可
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1、學習判斷底數不同且指數不同的冪的大小的前兩種常用技巧：標準值法，圖象法
2、
標準值法，就是選取一個大小位于它們之間的標準值，把兩個指數冪分別與這個標準值比較
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圖象法，只要將各個圖象畫在同一個坐標系，然后去找相應的函數值
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1、學習判斷底數不同且指數不同的冪的大小的第三種技巧乘方化整法，即把它們同時$k$次方
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如果$(a^{m})^{k}＞(b^{n})^{k}$，則$a^{m}＞b^{n}$；如果$(a^{m})^{k}＜(b^{n})^{k}$，則$a^{m}＜b^{n}$。一般$k$次方后，冪會變成一個整數，所以$(a^{m})^{k}$和$(b^{n})^{k}$的大小很好比較
3、
最后一道題，滴水不漏的證明$B＞A$，難度非常大，尤其是分子分母同除以的那個式子，可謂神來之筆，大家要好好體會
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1、指數型復合函數定義域的求法，依舊遵守由外向內的原則
2、
指數型復合函數過定點的問題有兩種情況：對于外層為指數函數的復合函數，$y=a^{f(x)}$，如果$f(m)=0$，則$y=1$。即$x=m$時，$y=1$，復合函數過定點$(m,1)$。對于內層為指數函數的復合函數，即$y=f(a^{x})$，當$x=0$時，$a^{x}=1$，$y$就一定等于$f(1)$，復合函數過定點$(0,f(1))$
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1、指數型復合函數單調性，依舊和復合函數單調性一樣，通過同增異減來確定復合后整體的單調性
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1、認識如何用定義法證明單調性。當題目要你證明單調性時，就必須用定義法來操作
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1、介紹外層函數為指數函數的復合函數值域的求解
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它依舊遵循由內向外的原則。在具體求解時，可以用換元法，令內層函數為$t$。然后由$x$的范圍求內層函數$t$的值域，在把$t$的值域當成外層函數定義域，求外層函數值域，即復合函數值域
3、
當指數函數的底數不確定時，要注意分類討論
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1、介紹內層函數為指數函數的復合函數值域的求解
2、
依舊遵循由內向外的原則。在具體求解時，可以用換元法
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當二次函數系數不確定時，注意分類討論
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1、講解了一道指數型復合函數的綜合題
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除了遵循了內層函數是指數函數的復合函數由內向外求值域的原則，還用到了第一類、第二類對勾函數的特性，增減性，奇偶性的知識，學員們要認真體會
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