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課程簡介
本課程深入探討了排列與組合的數(shù)學(xué)原理及其應(yīng)用，首先介紹了排列的概念和排列數(shù)公式，讓學(xué)生理解如何從給定元素中選取并排序。隨后，課程探討了環(huán)形排列的特點和計算方法，區(qū)分了圍坐問題和珠鏈問題。課程繼續(xù)講解了組合的概念，強調(diào)了組合數(shù)與排列數(shù)的區(qū)別，并介紹了組合數(shù)公式及其四個常用結(jié)論，這些結(jié)論在簡化計算中極為關(guān)鍵。此外，課程通過實際題目演示了組合數(shù)公式的應(yīng)用，教授了如何通過分類討論、幾何圖形條件和位置選擇來解決問題。最后，課程通過分書問題講解了先分組再全排的策略，展示了如何處理含有相同元素組的情況。
視頻列表
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1、?排列的概念，是指從給定個數(shù)的元素中取出指定個數(shù)的元素進行排序。排成的序列的種類數(shù)目就被稱為排列數(shù)。從$n$個不同元素中取出$m$個元素進行排列的排列數(shù)記為$A^{m}_{n}$。右下方的數(shù)字代表可選元素的總數(shù)，右上方的數(shù)字代表需要選出的元素的數(shù)目。
2、
排列數(shù)公式$A^{m}_{n}$ 的值就等于從$n$開始，倒數(shù)的$m$個數(shù)相乘。
3、
最后是全排列，$n$個不同元素的全排列數(shù)，就等于$n$的階乘。
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1、環(huán)形排列中每個位置的地位是完全一樣的，通過旋轉(zhuǎn)總能到達同一個位置。如果給每個位置都被編上了號碼，就算看起來是環(huán)形排列，但其實還是條形排列
2、
真正的環(huán)形排列問題主要有兩種：圍坐問題和珠鏈問題。其中，珠鏈問題不存在順時針和逆時針的方向區(qū)別，但是圍坐問題存在
3、
對于圍坐問題，從$n$個人中選出$m$個人圍坐，共有$\dfrac{A^{m}_{n}}{m}$種不同的坐法。對于全排列的圍坐問題，即$n$個人圍桌而坐，共有$\dfrac{A^{n}_{n}}{n}$種不同的坐法。其中$A^{n}_{n}=n!$，所以$\dfrac{A^{n}_{n}}{n}=(n-1)!$
4、
在圍坐問題的基礎(chǔ)上，除以$2$，就得到珠鏈問題的排列數(shù)
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1、組合的概念：從給定個數(shù)的元素中取出指定個數(shù)的元素，不考慮排序
2、
選取方式的數(shù)目就被稱為組合數(shù)。從$n$個不同元素中取出$m$個元素的組合數(shù)記為$C^{m}_{n}$。$n$和$m$分別代表可選元素的總數(shù)和需要選出的元素的數(shù)目。組合數(shù)等于排列數(shù)除以選取元素的全排列數(shù)$C^{m}_{n}=\dfrac{A^{m}_{n}}{m!}$。要在題目中準(zhǔn)確地判斷出是排列還是組合
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1、主要內(nèi)容就是組合數(shù)公式中的四個常用的結(jié)論。
2、
其中第二個結(jié)論的能幫我們簡化計算。
3、
第四個結(jié)論能幫我們合并組合數(shù)。
4、
我們在后續(xù)的課程中，會時常用到這4個常用結(jié)論，尤其是結(jié)論1與結(jié)論3在計算中經(jīng)常使用
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1、第一題的技巧是分類討論，每類中總數(shù)與所取數(shù)要確定清楚
2、
第二題的技巧是要注意幾何圖形的形成條件。比如圓上任意兩點可以構(gòu)成一條弦、三個不共線的點可以確定一個三角形
3、
第三題的技巧是先選位置，再填數(shù)字
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1、本節(jié)課把書分成的幾組，所含的本數(shù)都各不相同，所以可以看成不同的元素
2、
如果其中有幾組所含書本的數(shù)目相同，那就不能看成不同元素了,下節(jié)課會繼續(xù)探討
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1、如果數(shù)目相同的組都只含有1本書，就可以把這些組留到最后，它們只有一種分法
2、
如果不止一本書，就要除以數(shù)目相同組組數(shù)的全排列數(shù)
3、
最后一道題告訴我們，如果還要分給不同的人，就要再乘以人數(shù)的全排列數(shù)。
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李淼
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