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在學(xué)習(xí)過(guò)圓的各種性質(zhì)和定理后，這章就要研究圓和其他圖形的位置關(guān)系了。包括圓和直線，以及圓和多邊形。圓和直線最?？疾斓奈恢藐P(guān)系就是相切，因?yàn)檫@時(shí)會(huì)產(chǎn)生很多特殊的角度和長(zhǎng)度關(guān)系，搭配上相似和全等，各種考題層出不窮，也是這一章的難點(diǎn)。所以這一章涉及的圖形很多，三角形，四邊形，直線，圓，之前學(xué)過(guò)的幾何知識(shí)都會(huì)一起來(lái)考察，綜合題的難度就會(huì)很大。超級(jí)課堂會(huì)把各個(gè)知識(shí)點(diǎn)和技巧，融合相關(guān)題目，講解的有條不紊，深入淺出，想在圓這章有質(zhì)的飛躍的同學(xué)們，趕快加入學(xué)習(xí)吧。
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1、直線與圓三種位置關(guān)系的定義
2、
直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)就相交；一個(gè)公共點(diǎn)：相切；沒有公共點(diǎn)：相離
3、
實(shí)用的性質(zhì)和判定定理，就是比較圓心到直線距離和半徑的大小關(guān)系
4、
直線$l$和$\bigodot O$相交$d＜r$
5、
直線$l$和$\bigodot O$相切$d=r$
6、
直線l和$\bigodot O$相離$d＞r$
7、
一道動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)圓的題目，注意臨界點(diǎn)的確定
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1、?切線判定的基本原理：到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線。
2、
我們學(xué)習(xí)了解題的第一種方法：當(dāng)沒有給出直線與圓的公共點(diǎn)時(shí)“作垂直，證半徑”。
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1、我們學(xué)習(xí)了解題的第二種方法：當(dāng)明確給出了直線與圓的公共點(diǎn)時(shí)“連半徑，證垂直”。
2、
所以判定切線的第一步一定要觀察公共點(diǎn)是否存在，再選擇使用哪種方法解決，獲得擦邊而過(guò)的證據(jù)。
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1、切線的性質(zhì)定理：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直于圓的切線。
2、
切線性質(zhì)的“知二推一”： 如果某條直線滿足下面三個(gè)條件中的兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)。(1)經(jīng)過(guò)圓心，(2)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，(3)垂直于切線。
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1、我們介紹了切線性質(zhì)的應(yīng)用。
2、
由切線性質(zhì)產(chǎn)生的一種輔助線的做法，“連結(jié)圓心與切點(diǎn)”，可以獲得垂直和半徑兩條關(guān)鍵信息，成為解決切線問(wèn)題的不二法門。
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1、?切線長(zhǎng)的定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做切線長(zhǎng)。
2、
切線長(zhǎng)的第一個(gè)性質(zhì)：對(duì)于確定的圓，切線長(zhǎng)的大小取決于圓外點(diǎn)到圓心的距離，距離越大切線長(zhǎng)越大。
3、
切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角。它常用于求長(zhǎng)度或角度的題目中。
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1、“玩轉(zhuǎn)切線長(zhǎng)相等關(guān)系”的方法其實(shí)很明顯，就是通過(guò)多對(duì)相等的切線長(zhǎng)，進(jìn)行線段的等量代換，構(gòu)造出方便求長(zhǎng)度，或是長(zhǎng)度固定的圖形。
2、
美味的哈根達(dá)斯圖形，切線長(zhǎng)定理告訴我們它的兩邊長(zhǎng)度是相等的，這樣甜筒才能平穩(wěn)地托住冰激凌球，這也是其中蘊(yùn)含的物理學(xué)原理。
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1、切線長(zhǎng)定理中，平分角性質(zhì)的應(yīng)用
2、
當(dāng)圖形中切線比較多，要研究角度關(guān)系時(shí)，可以用到這個(gè)性質(zhì)
3、
切線長(zhǎng)定理的三個(gè)推論，它們都是為了徹底說(shuō)明甜筒圖形具有對(duì)稱性
4、
切線長(zhǎng)定理中涉及的長(zhǎng)度和角度相等的關(guān)系，在今后更加復(fù)雜的圖形中還會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)，成為我們尋找解題線索的突破口
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1、弦切角的定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。
2、
弦切角定理的內(nèi)容：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。
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1、我們介紹了弦切角定理的作用和應(yīng)用：完成弦切角與圓周角的相互轉(zhuǎn)化，進(jìn)而幫助我們計(jì)算或證明有關(guān)弦切角的問(wèn)題。
2、
有了無(wú)間道專用的弦切角定理，圓內(nèi)部和外部的角，就有了滲透和默契，對(duì)于一舉攻破更復(fù)雜的幾何圖形，產(chǎn)生了極大的幫助。
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1、相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等
2、
切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)
3、
切割線定理的推論—割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等
4、
圓內(nèi)的線段比例，都是建立在相似三角形的基礎(chǔ)上的。圓內(nèi)之所以有那么多相似三角形，就是因?yàn)閳A內(nèi)的角度關(guān)系
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1、相交弦、切割線定理還有割線定理總結(jié)得出圓冪定理。
2、
圓冪定理：過(guò)一個(gè)定點(diǎn)$P$的任何一條直線與圓相交，則這點(diǎn)到直線與圓的交點(diǎn)的兩條線段的乘積為定值$\left | OP^{2}-r^{2} \right |$。
3、
通過(guò)圓冪定理，三位一體結(jié)合，原來(lái)他們的本質(zhì)是完全一致的，圓的半徑大小，點(diǎn)圓位置，也就是$OP$的距離，就只有這兩點(diǎn)決定了$PA$和$PB$這兩條線段的長(zhǎng)度乘積。
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1、我們講解了一道運(yùn)用圓冪定理解決的高階例題，同學(xué)們注意體會(huì)。
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1、內(nèi)切圓的定義：和三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,它在圓的內(nèi)部。內(nèi)切圓的圓心叫做內(nèi)心，三角形叫做圓的外切三角形。
2、
我們學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)心的前兩句獨(dú)白，也就是前兩條性質(zhì)：(1)內(nèi)心到三角形三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓的半徑；(2)內(nèi)心是三角形的三條角平分線的交點(diǎn)。
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1、我們學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)心的第三句獨(dú)白，也就是第三條性質(zhì)：(3)頂角和張角的關(guān)系：若$O$是三角形$ABC$的內(nèi)心，則滿足：$\angle BOC=90^{\circ}+\dfrac{1}{2}\angle A$，張角等于頂角的一半再加上$90^{\circ}$。
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1、認(rèn)識(shí)三角形和內(nèi)切圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系：一個(gè)三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，而一個(gè)圓有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形。
2、
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1、對(duì)于圓的外切三角形，若$\triangle ABC$的三邊切圓$O$于$D,E,F$三點(diǎn)，則$AE=AF=\frac{b+c-a}{2}$；$BF=BD=\frac{a+c-b}{2}$；$CD=CE=\frac{a+b-c}{2}$。
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1、對(duì)于圓的外切四邊形，兩組對(duì)邊的和相等。
2、
DNA會(huì)斷裂重組，同樣，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，我們看到了多邊形的周長(zhǎng)也會(huì)由于內(nèi)切圓，發(fā)生有趣的瓦解重組，產(chǎn)生具有技巧性的性質(zhì)和公式。
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1、三角形內(nèi)切圓的半徑公式，利用面積法推導(dǎo)得到。半徑等于兩倍的面積除以周長(zhǎng)$r=\frac{2S}{L}$
2、
三角形肚子里的圓，跟面積和周長(zhǎng)有關(guān)。三角形的面積、周長(zhǎng)、內(nèi)切圓半徑，三條信息，“知二求一”
3、
對(duì)于邊長(zhǎng)為$a$的等邊三角形，化簡(jiǎn)得到：內(nèi)切圓半徑就是邊長(zhǎng)的六分之根號(hào)$3$倍
4、
對(duì)于一般三角形，知道了三邊也可以求出內(nèi)切圓半徑，周長(zhǎng)就是$a+b+c$，至于面積呢，就要求高。對(duì)于內(nèi)部左右兩個(gè)直角三角形，使用勾股定理，列個(gè)方程就搞定了
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1、面積法推導(dǎo)出任意多邊形內(nèi)切圓半徑的求法，還是公式 。面積、周長(zhǎng)、內(nèi)切圓半徑“知二求一”
2、
面積法的應(yīng)用，要注意的是分割多邊形的方法，連接圓心和各切點(diǎn)和頂點(diǎn)
3、
對(duì)于直角三角形，超級(jí)課堂給出了一個(gè)獨(dú)創(chuàng)的算法
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與圓有關(guān)的位置關(guān)系綜合練習(xí)
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