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經(jīng)過(guò)了對(duì)一次函數(shù)、二次函數(shù)各個(gè)方面學(xué)習(xí)的洗禮后，我們也掌握如何徹底地研究一個(gè)函數(shù)：定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等等。運(yùn)用這些思路，超級(jí)課堂將幫助同學(xué)們接收接下來(lái)如爆炸般各個(gè)基本初等函數(shù)的信息，其中之一就為指數(shù)函數(shù)。面對(duì)這突如其來(lái)的轟炸，我們將系統(tǒng)、細(xì)膩地梳理各個(gè)概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，并升華到分?jǐn)?shù)指數(shù)、無(wú)理數(shù)指數(shù)、指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的層面，帶給大家“吃透炸彈”的快感！
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1、介紹了$n$次方根的概念及相關(guān)概念
2、
介紹$n$次方根的兩條運(yùn)算性質(zhì)，性質(zhì)一，$(\sqrt[n]{a})^{n}=a$，當(dāng)$n$為偶數(shù)時(shí)有$a\geq 0$的隱含條件。性質(zhì)二，(1)當(dāng)$n$為奇數(shù)時(shí)，$\sqrt[n]{a^{n}}=a$；(2)當(dāng)$n$為偶數(shù)時(shí)，$\sqrt[n]{a^{n}}=\left | a \right |=\left\{\begin{matrix} a,a\geq 0\\ -a,a＜0\end{matrix}\right. $
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1、利用根式的兩條性質(zhì)來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，可以由根指數(shù)$n$為偶數(shù)，被開(kāi)方數(shù)$\geq 0$的隱含條件，得到$a$的范圍，然后化簡(jiǎn)根式。而反過(guò)來(lái)，也可以根據(jù)化簡(jiǎn)結(jié)果來(lái)反推字母的取值范圍
2、
化簡(jiǎn)根式還能幫我們解無(wú)理方程，解無(wú)理方程的基本思想就是去根號(hào)，化為有理方程
3、
化簡(jiǎn)復(fù)合二次根式$\sqrt{A\pm \sqrt{B}}$的方法：觀察法、待定系數(shù)法、平方法
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1、實(shí)數(shù)指數(shù)冪包括有理數(shù)指數(shù)冪與無(wú)理數(shù)指數(shù)冪，其中有理數(shù)指數(shù)冪包括整數(shù)指數(shù)冪與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
2、
正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是根式的另一種寫(xiě)法
3、
在把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與的過(guò)程中，如果底數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)或代數(shù)式是負(fù)值，則必須先利用偶次方將負(fù)數(shù)或負(fù)值代數(shù)式化為正數(shù)或正值代數(shù)式后，才能化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
4、
無(wú)理數(shù)指數(shù)冪是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上可以找到與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)
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1、性質(zhì)一，同底數(shù)冪相乘——底數(shù)不變，指數(shù)相加；性質(zhì)二，冪的乘方——底數(shù)不變，指數(shù)相乘；性質(zhì)三，積的乘方——等于乘方的積。其中$a>
2、
0$，$b>
3、
0$，$m$，$n\in R$
4、
性質(zhì)一可以得到一個(gè)除法的推論，即$\dfrac{a^{m}}{b^{n}}=a^{m}\dfrac{1}{a^{n}}=a^{m}a^{-n}=a^{m-n}$；性質(zhì)三也可以得到除法的推論，即$(\dfrac{a})^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}$
5、
一定要注意底數(shù)大于$0$的前提，如果底數(shù)是負(fù)數(shù)或負(fù)值代數(shù)式，則一定要將它轉(zhuǎn)化為正數(shù)或正值代數(shù)式
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1、學(xué)習(xí)冪運(yùn)算三大性質(zhì)的綜合運(yùn)用
2、
冪運(yùn)算的三大性質(zhì)在題目中的使用非常普遍，在這節(jié)課的題目中，三條性質(zhì)全部都用上了，還得到一個(gè)能幫你快速解題的結(jié)論，大家要記住
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1、對(duì)于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪$a^{\dfrac{m}{n}}$的求值，如果指數(shù)的分母$n$較大，通常我們會(huì)先將底數(shù)$a$化成某個(gè)數(shù)的$n$次方
2、
對(duì)于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間的乘除運(yùn)算，注意兩點(diǎn)：(1)系數(shù)與同底數(shù)冪要分開(kāi)運(yùn)算；(2)同底數(shù)冪相乘，指數(shù)相加；相除，指數(shù)相減
3、
運(yùn)算中要注意“先化簡(jiǎn)再代入計(jì)算”的原則
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1、學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算的第三種題型，根式運(yùn)算。把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，運(yùn)算起來(lái)會(huì)簡(jiǎn)單很多
2、
注意在化簡(jiǎn)多重根式時(shí)，要由內(nèi)向外層層轉(zhuǎn)化
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1、學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算的第四種題型：運(yùn)用代數(shù)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)
2、
要熟悉三種常用的代數(shù)公式進(jìn)行式子的化簡(jiǎn)
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1、了解一個(gè)特定結(jié)構(gòu)的化簡(jiǎn)結(jié)論：$(a^{n}+a^{-n})^{2}-(a^{n}-a^{-n})^{2}=4$，$a＞0$，$n\in R$
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1、掌握指數(shù)函數(shù)的定義，注意判斷指數(shù)函數(shù)的幾個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)
2、
求指數(shù)函數(shù)解析式的常用方法是待定系數(shù)法，注意不能取$x=0$，$y=1$
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1、了解指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)：底數(shù)$a$按照是否大于$1$分成兩類(lèi)，大于$1$時(shí)，是遞增的曲線(xiàn)；大于$0$小于$1$則是遞減的曲線(xiàn)
2、
它們都經(jīng)過(guò)$(0,1)$這點(diǎn)，都一端趨近于$x$軸，一端無(wú)限上升。且$y=a^{x}$和$y=(\dfrac{1}{a})^{x}$的圖象關(guān)于$y$軸對(duì)稱(chēng)
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1、解決幾道指數(shù)函數(shù)圖象與最值函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)、分段函數(shù)圖象結(jié)合的求值域的題目，旨在幫助大家熟悉指數(shù)函數(shù)的圖象
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1、?由單調(diào)性求字母范圍時(shí)，單增推出$a$大于$1$，單減推出$0$小于$a$小于$1$
2、
注意組合函數(shù)和分段函數(shù)單調(diào)性的判斷，這些內(nèi)容都在之前的函數(shù)章節(jié)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)過(guò)的，忘記的同學(xué)記得返回觀看哦
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1、解決與值域相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，當(dāng)?shù)讛?shù)固定時(shí)，根據(jù)單調(diào)性，結(jié)合圖象就能求出相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的值域
2、
當(dāng)?shù)讛?shù)不固定，有未知字母時(shí)。有些問(wèn)題不需要討論底數(shù)，比如恒成立問(wèn)題，及最值之和的問(wèn)題；而有些問(wèn)題需要搞清哪個(gè)是最大值，哪個(gè)是最小值，這時(shí)就要分類(lèi)討論了，比如最值之差的問(wèn)題
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1、利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決第一類(lèi)指數(shù)不等式$a^{f(x)}＞a^{g(x)}$。若$a＞1$，則指數(shù)函數(shù)$y=a^{x}$單調(diào)遞增，由函數(shù)值的大小關(guān)系和指數(shù)的大小關(guān)系一致。若$0＜a＜1$，則指數(shù)函數(shù)$y=a^{x}$單調(diào)遞減，由函數(shù)值的大小關(guān)系和指數(shù)的大小關(guān)系相反
2、
需要注意兩點(diǎn)：(1)若底數(shù)不確定，需要分類(lèi)討論；(2)要化為同底數(shù)冪形式
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1、對(duì)于第二類(lèi)指數(shù)不等式$A\cdot a^{2x}+B\cdot a^{x}+C＞0$，不等式的左邊可以看成是指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)。所以可以采用換元法，將$a^{x}$整體換成$t$，化為$At^{2}+Bt+C＞0$
2、
再通過(guò)圖象求$t$的范圍，進(jìn)而求$x$的范圍。要注意一點(diǎn)$t＞0$
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1、學(xué)習(xí)比較指數(shù)冪的值的大小的第一種題型——底數(shù)相同，指數(shù)不同
2、
底數(shù)相同，指數(shù)不同時(shí)，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較即可
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1、學(xué)習(xí)指數(shù)冪大小比較的第二種題型——指數(shù)相同，底數(shù)不同。有兩種方法：圖象法或作商法
2、
圖象法的基本原理是：當(dāng)?shù)讛?shù)都大于$1$時(shí)，底數(shù)越大，指數(shù)函數(shù)的曲線(xiàn)就越陡。當(dāng)?shù)讛?shù)都大于$0$小于$1$時(shí)，底數(shù)越小，指數(shù)函數(shù)的曲線(xiàn)就越陡。通過(guò)圖象的高低就能判斷出同指數(shù)時(shí)，函數(shù)值的大小了
3、
作商法，即把指數(shù)冪相除，再看指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值是大于$1$，還是小于$1$即可
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1、學(xué)習(xí)判斷底數(shù)不同且指數(shù)不同的冪的大小的前兩種常用技巧：標(biāo)準(zhǔn)值法，圖象法
2、
標(biāo)準(zhǔn)值法，就是選取一個(gè)大小位于它們之間的標(biāo)準(zhǔn)值，把兩個(gè)指數(shù)冪分別與這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)值比較
3、
圖象法，只要將各個(gè)圖象畫(huà)在同一個(gè)坐標(biāo)系，然后去找相應(yīng)的函數(shù)值
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1、學(xué)習(xí)判斷底數(shù)不同且指數(shù)不同的冪的大小的第三種技巧乘方化整法，即把它們同時(shí)$k$次方
2、
如果$(a^{m})^{k}＞(b^{n})^{k}$，則$a^{m}＞b^{n}$；如果$(a^{m})^{k}＜(b^{n})^{k}$，則$a^{m}＜b^{n}$。一般$k$次方后，冪會(huì)變成一個(gè)整數(shù)，所以$(a^{m})^{k}$和$(b^{n})^{k}$的大小很好比較
3、
最后一道題，滴水不漏的證明$B＞A$，難度非常大，尤其是分子分母同除以的那個(gè)式子，可謂神來(lái)之筆，大家要好好體會(huì)
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1、指數(shù)型復(fù)合函數(shù)定義域的求法，依舊遵守由外向內(nèi)的原則
2、
指數(shù)型復(fù)合函數(shù)過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題有兩種情況：對(duì)于外層為指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，$y=a^{f(x)}$，如果$f(m)=0$，則$y=1$。即$x=m$時(shí)，$y=1$，復(fù)合函數(shù)過(guò)定點(diǎn)$(m,1)$。對(duì)于內(nèi)層為指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，即$y=f(a^{x})$，當(dāng)$x=0$時(shí)，$a^{x}=1$，$y$就一定等于$f(1)$，復(fù)合函數(shù)過(guò)定點(diǎn)$(0,f(1))$
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1、指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，依舊和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性一樣，通過(guò)同增異減來(lái)確定復(fù)合后整體的單調(diào)性
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1、認(rèn)識(shí)如何用定義法證明單調(diào)性。當(dāng)題目要你證明單調(diào)性時(shí)，就必須用定義法來(lái)操作
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1、介紹外層函數(shù)為指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)值域的求解
2、
它依舊遵循由內(nèi)向外的原則。在具體求解時(shí)，可以用換元法，令內(nèi)層函數(shù)為$t$。然后由$x$的范圍求內(nèi)層函數(shù)$t$的值域，在把$t$的值域當(dāng)成外層函數(shù)定義域，求外層函數(shù)值域，即復(fù)合函數(shù)值域
3、
當(dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)不確定時(shí)，要注意分類(lèi)討論
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1、介紹內(nèi)層函數(shù)為指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)值域的求解
2、
依舊遵循由內(nèi)向外的原則。在具體求解時(shí)，可以用換元法
3、
當(dāng)二次函數(shù)系數(shù)不確定時(shí)，注意分類(lèi)討論
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1、講解了一道指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的綜合題
2、
除了遵循了內(nèi)層函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)由內(nèi)向外求值域的原則，還用到了第一類(lèi)、第二類(lèi)對(duì)勾函數(shù)的特性，增減性，奇偶性的知識(shí)，學(xué)員們要認(rèn)真體會(huì)
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