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函數(shù)世界的殺手，初中代數(shù)的夢(mèng)魘——二次函數(shù)，折磨著一代又一代的初三學(xué)子。甚至在高中，都會(huì)有很大一部分的內(nèi)容是圍繞二次函數(shù)進(jìn)行的，二次函數(shù)的代表性和重要性可見一斑。較多的知識(shí)點(diǎn)，錯(cuò)綜復(fù)雜的聯(lián)系，題目中變化多端的思路和技巧，這些都是讓二次函數(shù)成為最有難度的一章內(nèi)容當(dāng)之無(wú)愧。超級(jí)課堂從定義和解析式開始破解二次函數(shù)，涉及到圖像，性質(zhì)，系數(shù)，求根公式和根等等一系列完整的知識(shí)體系，逐步深入，環(huán)環(huán)相扣，幫你徹底解決二次函數(shù)。
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1、二次函數(shù)的一般式：$y=ax^{2}+bx+c$（$a$、$b$、$c$為常數(shù)，且$a\neq 0$）。
2、
判定二次函數(shù)的依據(jù)：自變量的最高次是二次，且二次項(xiàng)系數(shù)不為零，且解析式的右邊一定是整式，不能包含分式或根式。
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1、二次函數(shù)解析式的求法，還是待定系數(shù)法。一般有幾個(gè)未知系數(shù)就要代入幾組$xy$值，其實(shí)就是解多元方程。
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1、二次函數(shù)$y=ax^{2}$（$a\neq 0$）的圖象是拋物線，頂點(diǎn)就是原點(diǎn)，對(duì)稱軸是$y$軸。
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1、學(xué)習(xí)二次函數(shù)$y=ax^{2}$ $（a\neq 0）$圖象的三個(gè)重要的性質(zhì)。
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1、通過(guò)平移變換推導(dǎo)，把最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)解析式$y=ax^{2}$變成了頂點(diǎn)式$y=a(x-h)^{2}+k$，發(fā)現(xiàn)了港式頂點(diǎn)$\left ( h,k \right )$。
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1、認(rèn)識(shí)兩種特殊的頂點(diǎn)式，第一類是$y=a(x-h)^{2}$，對(duì)稱軸是$x=h$，頂點(diǎn)是$(h，0)$。第二類是$y=ax^{2}+k$。對(duì)稱軸是$y$軸，頂點(diǎn)是$(0，k)$。
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1、學(xué)習(xí)用配方法轉(zhuǎn)化二次函數(shù)解析式。
2、
三步走：第一步，提系數(shù)；第二步，加減常數(shù)；第三步，整理式子。要注意它與一元二次方程配方的區(qū)別。
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1、學(xué)習(xí)用公式法轉(zhuǎn)化二次函數(shù)解析式。
2、
把一般式$y=ax^{2}+bx+c$配方成頂點(diǎn)式$y=a(x+\dfrac{2a})^{2}+\dfrac{4ac-b^{2}}{4a}$ ，得到了兩個(gè)公式，對(duì)稱軸$x=-\dfrac{2a}$，頂點(diǎn)坐標(biāo)$(-\dfrac{2a},\dfrac{4ac-b^{2}}{4a})$。
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1、圖象的形狀完全由$a$決定，$a$的正負(fù)決定開口方向，$a>
2、
0$，開口向上；$a<
3、
0$，開口向下。
4、
$\left | a \right |$的大小決定開口大?。?\left | a \right |$越大，開口越?。?\left | a \right |$越小，開口越大。
5、
只有$a$相同的函數(shù)才能進(jìn)行平移變換。
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1、初步認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的最值。它們可以通過(guò)公式法或者配方法來(lái)求，求之前由$a$的正負(fù)在草紙上隨手畫一道開口正確的彩虹，接下來(lái)就看圖說(shuō)話了。$a＞0$時(shí)，最小值為$\dfrac{4ac-b^{2}}{4a}$ ；$a＜0$時(shí)，最大值為$\dfrac{4ac-b^{2}}{4a}$。
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1、拋物線的增減性，搞清對(duì)稱軸和$a$的正負(fù)，然后畫個(gè)弧線，看看對(duì)稱軸兩邊的曲線，哪個(gè)上升，哪個(gè)下降
2、
拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。令$x$等于$0$，求得就是跟$y$軸的交點(diǎn)$\left ( 0,c \right )$。
3、
令$y$等于$0$，就能求出跟$x$軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，這是二次函數(shù)變成二次方程，直接由判別式就可以確定拋物線和$x$的關(guān)系。
4、
判別式大于$0$，則圖像與$x$軸就有兩個(gè)交點(diǎn)；判別式等于$0$，則圖像與$x$軸有一個(gè)交點(diǎn)；判別式小于$0$，則圖像與$x$軸沒有交點(diǎn)。
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1、$abc$對(duì)于圖像的影響，$a$決定拋物線的形狀，$b$和$a$一起決定了對(duì)稱軸位置，$c$決定了圖像和$y$軸的交點(diǎn)。
2、
看圖判斷$abc$的正負(fù)，一句口訣搞定：“一看開口二看軸，$y$上交點(diǎn)瞅一瞅”。
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1、學(xué)習(xí)了判斷$abc$組成的式子正負(fù)的前兩種方法。
2、
第一種，最簡(jiǎn)單的，由$a$、$b$、$c$各自的正負(fù)判斷組合式的正負(fù)，需要利用不等式的性質(zhì)。
3、
第二種，找特殊的$x$值。把正負(fù)$1$，正負(fù)$2$這種點(diǎn)代入，就能夠產(chǎn)生$a+b+c$、$4a-2b+c$這種$a$、$b$、$c$組合的式子，然后在圖像上看看這個(gè)$x$值對(duì)應(yīng)的位置，就知道這時(shí)的函數(shù)值是正是負(fù)了。
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1、學(xué)習(xí)了判斷$abc$組成的式子正負(fù)的第三種方法：通過(guò)交點(diǎn)$x_{1}x_{2}$的范圍，來(lái)確定$ab$或$ac$組合的式子。其中$ab$組合的式子，需要通過(guò)$x_{1}x_{2}$判斷對(duì)稱軸的范圍，再用對(duì)稱軸公式$\dfrac{x_{1}x_{2}}{2}=-\dfrac{2a}$ 判斷$a$和$b$的不等關(guān)系，得到$a$、$b$組合式的正負(fù)。而對(duì)于$ac$組合的式子，要利用韋達(dá)定理$x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a}$。
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1、$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$。交點(diǎn)式就是$x$和兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)的差，寫成乘積的形式，再加一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)$a$。
2、
知道函數(shù)的圖像和$x$軸交點(diǎn)時(shí)，就可以用交點(diǎn)式來(lái)設(shè)解析式，然后待定系數(shù)法搞定。
3、
對(duì)于二次函數(shù)的三種解析式：一般式，頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式。
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1、三選一大致是如下規(guī)則：有頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí)首選設(shè)頂點(diǎn)式，有$x$軸上兩點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)首選設(shè)交點(diǎn)式，只有三個(gè)普通點(diǎn)的坐標(biāo)就只能設(shè)一般式。
2、
不要生搬硬套，又快又準(zhǔn)地得到解析式才是終極目標(biāo)。
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1、拋物線和$y$軸的交點(diǎn)，看$c$。交點(diǎn)坐標(biāo)就是$\left ( 0,c \right )$。
2、
拋物線和$x$軸的交點(diǎn)，被轉(zhuǎn)化成了一元二次方程根的問(wèn)題。通過(guò)判別式搞定。
3、
當(dāng)$\Delta =b^{2}-4ac＞0$時(shí)，拋物線與$x$軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)$\Delta =b^{2}-4ac=0$時(shí)，拋物線與$x$軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)$\Delta =b^{2}-4ac＜0$時(shí)，拋物線與$x$軸沒有交點(diǎn)。
4、
綜合一下就是拋物線與坐標(biāo)軸最少有$1$個(gè)交點(diǎn)，最多有$3$個(gè)交點(diǎn)。
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1、當(dāng)拋物線與$x$軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)間的距離公式常常會(huì)用到，$\dfrac{\sqrt{\left | \Delta
2、
\right |}}{\left | a \right |}$，同學(xué)們要好好掌握，用起來(lái)超方便哦。
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1、對(duì)于平移，遵循“左加右減，上加下減”。
2、
對(duì)于軸對(duì)稱變換，要先把一般式化為頂點(diǎn)式，再去觀察變換對(duì)開口方向和頂點(diǎn)的影響，也就是$a$的符號(hào)變化和$h$、$k$的變化。
3、
如果開口方向相反，$a$的符號(hào)就要改變。
4、
關(guān)于頂點(diǎn)的變化，用對(duì)稱軸的$2$倍減去相應(yīng)的原坐標(biāo)，就是新坐標(biāo)。
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1、學(xué)習(xí)拋物線的中心對(duì)稱變換。旋轉(zhuǎn)$180^{\circ}$的中心對(duì)稱，相當(dāng)于橫縱坐標(biāo)都進(jìn)行了一次對(duì)稱變換。
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1、?當(dāng)$x$取值范圍是全體實(shí)數(shù)時(shí)，$a>
2、
0$時(shí)二次函數(shù)只有最小值，$a<
3、
0$時(shí)二次函數(shù)只有最大值，都在頂點(diǎn)處取得，數(shù)值都是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，也可以把解析式配方成$y=(x-k)^{2}+k$，最值就是$y=k$。
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1、當(dāng)$x$被限定在一個(gè)范圍內(nèi)時(shí)，二次函數(shù)的最值必定在頂點(diǎn)或端點(diǎn)處取得，要借助大致的圖像來(lái)判斷最值的具體位置。
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1、直線與拋物線的位置關(guān)系：相交、相切、相離，分別是兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)交點(diǎn)和沒有交點(diǎn)。
2、
判定的方法就是聯(lián)立方程組，確定判別式的正負(fù)。
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1、直線與拋物線的公共點(diǎn)坐標(biāo)的求法是，把聯(lián)立得到的方程組解出來(lái)，每組相應(yīng)的$x$與$y$便組成一個(gè)交點(diǎn)。
2、
講解一道可以巧解的題目，用到了韋達(dá)定理，體現(xiàn)了設(shè)而不求的數(shù)學(xué)方法。
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