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在這個章節(jié)，我們研究的不僅是單一的圖形，還會研究圖形之間的位置關(guān)系，以及由一個圖形得到另一個圖形的幾何變換。初中主要學(xué)習(xí)四種幾何變換：軸對稱變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換和相似變換。雖然每種變換的定義都非常簡單易懂，但會結(jié)合之前三角形，四邊形中的各種知識點(diǎn)，來進(jìn)行出題。僅僅是軸對稱就涉及到折疊問題和飲馬問題兩類變化多端的題型。所以超級課堂會依舊把重點(diǎn)放在幾何模型的記憶和題型的熟悉上，幫大家迅速攻克考試難關(guān)。
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1、經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫中垂線
2、
線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等
3、
利用性質(zhì)定理可以進(jìn)行邊的等量轉(zhuǎn)化，一種常用的輔助線作法：連接垂直平分線上的點(diǎn)與線段端點(diǎn)
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1、垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上
2、
利用逆定理得到了線段垂直平分線的作法：畫弧相交，連交點(diǎn)
3、
同時逆定理可以用來找到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，它必在線段的垂直平分線上
4、
三角形的外心，是三邊垂直平分線的交點(diǎn)。關(guān)于外心，你要記住兩點(diǎn)：(1)外心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等；(2)設(shè)$\triangle ABC$的外心為$O$，則$\angle BOC=2\angle A$，$\angle AOB=2\angle C$，$\angle AOC=2\angle B$
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1、認(rèn)識幾個重要的概念，對稱軸，軸對稱圖形，還有對稱點(diǎn)
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軸對稱圖形具有的性質(zhì)是：對稱軸垂直平分連接兩個對稱點(diǎn)之間的線段
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1、軸對稱變換，也叫反射變換，經(jīng)變換所得的新圖形叫做原圖的像
2、
軸對稱變換的性質(zhì)是：軸對稱變換不改變原圖形的形狀和大小。即原圖形與像是全等的
3、
軸對稱圖形與軸對稱變換既有區(qū)別又有聯(lián)系，這些需要同學(xué)們清楚的理解
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1、掌握作已知圖形的對稱圖形的方法，分為三步：找點(diǎn)、畫點(diǎn)、連線
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1、認(rèn)識對稱邊模型，記住對角線相等的性質(zhì)
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1、認(rèn)識對稱點(diǎn)模型，及兩種變形
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1、學(xué)習(xí)一種高級的輔助線作法：作軸對稱
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此法配合前面幾點(diǎn)性質(zhì)來綜合運(yùn)用，威力無敵，會達(dá)到意想不到的效果
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1、折疊問題的實(shí)質(zhì)是軸對稱變換，折痕是對稱軸
2、
折疊前后的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，這是求邊、角的理論基礎(chǔ)
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1、?學(xué)習(xí)三角形折疊平行線模型
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在求邊時遇到直角三角形常常利用設(shè)元法加勾股定理來列方程
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1、?學(xué)習(xí)內(nèi)角折疊模型，記住這兩組角度關(guān)系的結(jié)論，在一些特殊的題目中有關(guān)鍵作用
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此外折疊問題經(jīng)常會遇到等腰三角形，要注意利用邊、角相等的條件幫助解題
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1、認(rèn)識將軍飲馬問題的兩種基本模型：在直線上找一點(diǎn)，使這個點(diǎn)到直線外兩個定點(diǎn)的距離和最短。當(dāng)$A$、$B$在直線兩側(cè)時，直接連$A$、$B$，交點(diǎn)即所求點(diǎn)
2、
當(dāng)$A$、$B$在直線同側(cè)時，先作對稱，再連接對稱點(diǎn)與另外一個點(diǎn)，交點(diǎn)即所求點(diǎn)
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1、?記住將軍飲馬問題的兩種變形
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變形一：兩直線相交于$O$，在直線$OM$上找一點(diǎn)$B$，在直線$ON$上找一點(diǎn)$C$，使得$AB+BC+AC$最短，或者說使得$\triangle ABC$的周長最短。分別作$OM$、$ON$的對稱點(diǎn)$A_{1}$、$A_{2}$，連$A_{1}A_{2}$連起來，連線和$OM$、$ON$的交點(diǎn)就分別是滿足條件的$B$和$C$
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4、
變形二：$A$、$B$在兩相交線$l$和$m$夾角內(nèi)部，$l$上找一點(diǎn)$C$，$m$上找一點(diǎn)$D$，使得$AC+CD+BD$最短。作$A$關(guān)于$l$的對稱點(diǎn)${A}'$，$B$關(guān)于$m$的對稱點(diǎn)${B}'$，連${A}'{B}'$，${A}'{B}'$與$l$、$m$的交點(diǎn)就是$C$和$D$
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1、平移變換的定義：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個直線方向移動一定的距離，這樣的改變叫做平移變換，簡稱平移
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平移的三大基本性質(zhì)：(1)平移不改變圖形的形狀與大小。(2)對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等。(3)對應(yīng)點(diǎn)的連線平行或共線且相等
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1、平移的兩大因素：平移的方向和平移的距離。在平移的過程中所有點(diǎn)的平移方向與平移距離全部相等。所以可以利用圖形中的任一個點(diǎn)或一部分的前后位置，來確定平移方向與平移距離
2、
作某圖形平移后的圖形：先作圖形中特殊點(diǎn)或特殊線段平移后的對應(yīng)點(diǎn)、對應(yīng)線段，再連接成整個圖形
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1、?講解了3道與平移性質(zhì)有關(guān)的基本例題
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在具體的題目中，要抓住平移的兩大因素，通過某一點(diǎn)的平移距離來確定其他點(diǎn)的移動位置
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1、“建橋問題”模型，解決方法是平移、連接
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1、對于“將軍飲馬問題”的另一種變形——“將軍飲馬加遛馬”模型，解決方法是：平移、作對稱、連接
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1、學(xué)習(xí)一道利用平移作輔助線的題目
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利用平移可以將邊、角移到一起，便于進(jìn)行邊、角的運(yùn)算，當(dāng)你覺得有些邊應(yīng)該在一起而沒有在一起的時候，不妨試試平移的思路，牽牽線，讓它們神奇的相會吧
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1、旋轉(zhuǎn)變換的定義：在平面內(nèi)，將某個圖形，繞一個定點(diǎn)按同一個方向轉(zhuǎn)動同一個角度，這樣的圖形改變稱為旋轉(zhuǎn)變換，簡稱旋轉(zhuǎn)。這個定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角
2、
旋轉(zhuǎn)變換的三要素是：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)角，對于任何旋轉(zhuǎn)問題都要首先分析清楚這三要素
3、
旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)：(1)旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等。(2)對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。(3)對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角
4、
性質(zhì)三尤為重要，是我們求旋轉(zhuǎn)角的依據(jù)。反之，已知旋轉(zhuǎn)角，就相當(dāng)于告訴你了圖形中任意一個對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角
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1、旋轉(zhuǎn)問題中常見的幾何模型：將線段$AB$繞端點(diǎn)$A$旋轉(zhuǎn)一定角度到$A{B}'$， 若把$B{B}'$，就能得到一個等腰三角形$\triangle AB{B}'$
2、
如果你旋轉(zhuǎn)的是某個圖形，那么圖形中任意一點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線，通過旋轉(zhuǎn)，都會形成這樣的等腰三角形。特別當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為$60°$或$90°$時，會形成更特殊的等邊三角形或等腰直角三角形，就能利用特殊三角形的性質(zhì)來解題
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1、認(rèn)識第一種模型旋轉(zhuǎn)法：正方形模型旋轉(zhuǎn)法
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1、認(rèn)識第二種模型旋轉(zhuǎn)法：等腰三角形模型旋轉(zhuǎn)法
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1、認(rèn)識第三種模型旋轉(zhuǎn)法：等邊三角形模型旋轉(zhuǎn)法
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1、旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義：如果一個圖形繞著一個定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度（小于周角）后，所得到的圖形能夠與原來的圖形重合，這樣的圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形
2、
其中這個定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度依然叫做旋轉(zhuǎn)角
3、
線段、圓和正多邊形等是最常見的旋轉(zhuǎn)對稱圖形，其中正$n$邊形的最小旋轉(zhuǎn)角為$\dfrac{360^{\circ}}{n}$
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1、中心對稱圖形的定義：如果一個圖形繞著一個定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)$180o$后，所得到的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個定點(diǎn)叫做對稱中心。中心對稱圖形是特殊的旋轉(zhuǎn)對稱圖形。線段、平行四邊形、圓和邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是最常見的中心對稱圖形
2、
如果一個圖形繞著一個定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)$180o$后，能夠和另一個圖形重合，就稱作這兩個圖形關(guān)于這個定點(diǎn)成中心對稱。這兩個圖形中的對應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對稱點(diǎn)
3、
中心對稱基本性質(zhì)有兩條：（1）中心對稱的兩個圖形是全等形； （2）中心對稱的兩個圖形，對稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分
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1、掌握中心對稱圖形的作法，作一個圖形的中心對稱圖形的步驟：作頂點(diǎn)的對稱點(diǎn)再連接
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