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函數(shù)——高中數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容，它的現(xiàn)代定義建立在集合論的基礎(chǔ)上。本章將幫你充分認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念、函數(shù)的表示法和函數(shù)的三要素以及相關(guān)題型，尤其是定義域這個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，幫你打好函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)！
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1、學(xué)習(xí)函數(shù)的現(xiàn)代定義，引入了集合論的觀點(diǎn)，避免了對(duì)關(guān)系的描述，非常簡(jiǎn)潔卻反映本質(zhì)！你要清楚$f$只是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系
2、
自變量$x$的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，其對(duì)應(yīng)的$y$值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域
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1、判斷函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的三大原則是：一、發(fā)生對(duì)應(yīng)關(guān)系的兩集合必須是非空數(shù)集，即函數(shù)有意義；二、存在性，集合$A$中的所有元素都必須在$B$集合中找到對(duì)應(yīng)元素；三、唯一性。定義域$A$中的每一個(gè)自變量元素，在$B$中，只能對(duì)應(yīng)一個(gè)值
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1、解了常見(jiàn)的三種對(duì)應(yīng)情況：一種是一對(duì)一，即$A$中不同的元素對(duì)應(yīng)$B$中不同的元素；第二種是多對(duì)一，即$A$中不同的元素對(duì)應(yīng)$B$中的同一元素；第三種是一對(duì)多，它嚴(yán)重違反唯一性的情況，它不是函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系
2、
函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系可以是一對(duì)一，或者多對(duì)一，但絕不能一對(duì)多
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1、講解函數(shù)的三種對(duì)應(yīng)情況在題目中的應(yīng)用
2、
而對(duì)于給出范圍的兩集合，存在性可以用子集法判斷
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1、區(qū)間的概念，它的本質(zhì)也是集合，只是一種簡(jiǎn)便寫(xiě)法。一共分為三種區(qū)間：閉區(qū)間，開(kāi)區(qū)間和半開(kāi)半閉區(qū)間
2、
無(wú)窮大用這個(gè)符號(hào)表示$\infty $，常用的實(shí)數(shù)集，用區(qū)間表示就是負(fù)無(wú)窮大到正無(wú)窮大的開(kāi)區(qū)間
3、
對(duì)于斷開(kāi)的不連續(xù)的取值集合，可以用并集符號(hào)連接各個(gè)區(qū)間。如果是一個(gè)或若干個(gè)不連續(xù)的實(shí)數(shù)，則不能用區(qū)間表示。如果取值范圍由一段范圍與一個(gè)單獨(dú)的數(shù)構(gòu)成，要將單獨(dú)的數(shù)放入大括號(hào)內(nèi)，再用并集符號(hào)連接
4、
區(qū)間的性質(zhì)，左端點(diǎn)值必須小于右端點(diǎn)值
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1、函數(shù)定義域必須用集合或區(qū)間來(lái)表示，主要有三大限定因素： (1)分母不為零；(2)偶次根式的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)； (3)零次冪的底數(shù)不為零
2、
對(duì)于含有多個(gè)限定因素的解析式，定義域要滿足每個(gè)因素，即取它們的交集。對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，還要保證定義域有實(shí)際意義
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1、?盡量不要去化簡(jiǎn)解析式，如果一定要化簡(jiǎn)，必須要等價(jià)化簡(jiǎn)
2、
如果解析式中含有未知參數(shù)，要根據(jù)參數(shù)的取值來(lái)分類討論
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1、兩類特殊函數(shù)的定義域求法：一種是含有兩個(gè)二次根式，且根號(hào)內(nèi)部為相反數(shù)解析式。比如 ，此時(shí)根號(hào)下只能取$0$
2、
另一種是處理含絕對(duì)值的不等式，要用數(shù)形結(jié)合的方法
3、
由函數(shù)定義域，反推解析式中的未知參數(shù)。注意以下兩種說(shuō)法是完全不同的：“函數(shù)的定義域?yàn)榧?A$”、“函數(shù)在集合$A$上有意義”，后者的集合$A$只是定義域的一個(gè)子集
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1、定義域?yàn)镽意味著無(wú)論自變量x取什么值函數(shù)都有意義，即解析式中，所有分母都不為零、所有偶次根式的被開(kāi)方數(shù)都非負(fù)、所有零次冪的底數(shù)都不為零
2、
利用這些性質(zhì)可以解出解析式中未知參數(shù)的范圍
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1、函數(shù)的三要素，是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域。只要定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定，值域就會(huì)隨之確定
2、
兩個(gè)函數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全—致，就說(shuō)這兩個(gè)函數(shù)相等，或?yàn)橥缓瘮?shù)。若其中一個(gè)要素不完全一樣，它們就不是同一個(gè)函數(shù)
3、
即使對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域都相同的函數(shù)，定義域也有可能不同，即為不同函數(shù)。這種函數(shù)總數(shù)可以這么求：先確定值域，再把函數(shù)值代入解析式，算出其對(duì)應(yīng)的自變量取值，再把這些值進(jìn)行組合，有多少種組合方式就有多少種函數(shù)
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1、兩函數(shù)是否相等的判定分兩步，先看定義域，再看對(duì)應(yīng)關(guān)系。關(guān)于定義域，要特別注意三類函數(shù)的限定因素
2、
分式型函數(shù)要注意分母不為零，不能輕易進(jìn)行約分，除非確保公因式不為零
3、
零次冪型函數(shù)要注意底數(shù)不為零
4、
根式型函數(shù)要注意奇次根式型與偶次根式型的區(qū)別。其中奇次根式對(duì)根式內(nèi)部整體沒(méi)有任何限定，而偶次根式的內(nèi)部整體要大于等于$0$。同時(shí)，偶次根式型函數(shù)不能輕易將根式合并或化簡(jiǎn)，除非在定義域內(nèi)做等價(jià)化簡(jiǎn)
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1、學(xué)習(xí)函數(shù)相等判定在題型中的應(yīng)用
2、
先看定義域，再看對(duì)應(yīng)關(guān)系，按照這個(gè)順序去比較兩個(gè)函數(shù)，就能看清楚它們的本質(zhì)，鑒定出它們的身份，判斷出它們是否相等
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1、學(xué)習(xí)函數(shù)的三種表示法：列表法、解析法和圖象法
2、
探討了它們的優(yōu)缺點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)解析法和圖象法才是王道，它們相輔相成的關(guān)系也使“數(shù)形結(jié)合思想”應(yīng)運(yùn)而生
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1、函數(shù)圖象的性質(zhì)是：任何直線$x=a$與函數(shù)的圖象最多只有一個(gè)交點(diǎn)
2、
學(xué)習(xí)作函數(shù)圖象的方法——描點(diǎn)法
3、
要注意的就是函數(shù)定義域，經(jīng)常需要截取圖象，挖空某個(gè)點(diǎn)，或者畫(huà)一些離散的點(diǎn)
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