函數——高中數學最重要的內容，它的現代定義建立在集合論的基礎上。本章將幫你充分認識函數的概念、函數的表示法和函數的三要素以及相關題型，尤其是定義域這個易錯點，幫你打好函數學習的基礎！
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1、學習函數的現代定義，引入了集合論的觀點，避免了對關系的描述，非常簡潔卻反映本質！你要清楚$f$只是一種對應關系
2、
自變量$x$的取值范圍叫做函數的定義域，其對應的$y$值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域
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1、判斷函數對應關系的三大原則是：一、發(fā)生對應關系的兩集合必須是非空數集，即函數有意義；二、存在性，集合$A$中的所有元素都必須在$B$集合中找到對應元素；三、唯一性。定義域$A$中的每一個自變量元素，在$B$中，只能對應一個值
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1、解了常見的三種對應情況：一種是一對一，即$A$中不同的元素對應$B$中不同的元素；第二種是多對一，即$A$中不同的元素對應$B$中的同一元素；第三種是一對多，它嚴重違反唯一性的情況，它不是函數對應關系
2、
函數對應關系可以是一對一，或者多對一，但絕不能一對多
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1、講解函數的三種對應情況在題目中的應用
2、
而對于給出范圍的兩集合，存在性可以用子集法判斷
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1、區(qū)間的概念，它的本質也是集合，只是一種簡便寫法。一共分為三種區(qū)間：閉區(qū)間，開區(qū)間和半開半閉區(qū)間
2、
無窮大用這個符號表示$\infty $，常用的實數集，用區(qū)間表示就是負無窮大到正無窮大的開區(qū)間
3、
對于斷開的不連續(xù)的取值集合，可以用并集符號連接各個區(qū)間。如果是一個或若干個不連續(xù)的實數，則不能用區(qū)間表示。如果取值范圍由一段范圍與一個單獨的數構成，要將單獨的數放入大括號內，再用并集符號連接
4、
區(qū)間的性質，左端點值必須小于右端點值
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1、函數定義域必須用集合或區(qū)間來表示，主要有三大限定因素： (1)分母不為零；(2)偶次根式的被開方數非負； (3)零次冪的底數不為零
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對于含有多個限定因素的解析式，定義域要滿足每個因素，即取它們的交集。對于實際問題，還要保證定義域有實際意義
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1、?盡量不要去化簡解析式，如果一定要化簡，必須要等價化簡
2、
如果解析式中含有未知參數，要根據參數的取值來分類討論
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1、兩類特殊函數的定義域求法：一種是含有兩個二次根式，且根號內部為相反數解析式。比如 ，此時根號下只能取$0$
2、
另一種是處理含絕對值的不等式，要用數形結合的方法
3、
由函數定義域，反推解析式中的未知參數。注意以下兩種說法是完全不同的：“函數的定義域為集合$A$”、“函數在集合$A$上有意義”，后者的集合$A$只是定義域的一個子集
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1、定義域為R意味著無論自變量x取什么值函數都有意義，即解析式中，所有分母都不為零、所有偶次根式的被開方數都非負、所有零次冪的底數都不為零
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利用這些性質可以解出解析式中未知參數的范圍
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1、函數的三要素，是定義域、對應關系和值域。只要定義域和對應關系確定，值域就會隨之確定
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兩個函數相等的定義：如果兩個函數的定義域和對應關系完全—致，就說這兩個函數相等，或為同一函數。若其中一個要素不完全一樣，它們就不是同一個函數
3、
即使對應關系和值域都相同的函數，定義域也有可能不同，即為不同函數。這種函數總數可以這么求：先確定值域，再把函數值代入解析式，算出其對應的自變量取值，再把這些值進行組合，有多少種組合方式就有多少種函數
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1、兩函數是否相等的判定分兩步，先看定義域，再看對應關系。關于定義域，要特別注意三類函數的限定因素
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分式型函數要注意分母不為零，不能輕易進行約分，除非確保公因式不為零
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零次冪型函數要注意底數不為零
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根式型函數要注意奇次根式型與偶次根式型的區(qū)別。其中奇次根式對根式內部整體沒有任何限定，而偶次根式的內部整體要大于等于$0$。同時，偶次根式型函數不能輕易將根式合并或化簡，除非在定義域內做等價化簡
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1、學習函數相等判定在題型中的應用
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先看定義域，再看對應關系，按照這個順序去比較兩個函數，就能看清楚它們的本質，鑒定出它們的身份，判斷出它們是否相等
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1、學習函數的三種表示法：列表法、解析法和圖象法
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探討了它們的優(yōu)缺點，發(fā)現解析法和圖象法才是王道，它們相輔相成的關系也使“數形結合思想”應運而生
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1、函數圖象的性質是：任何直線$x=a$與函數的圖象最多只有一個交點
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學習作函數圖象的方法——描點法
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要注意的就是函數定義域，經常需要截取圖象，挖空某個點，或者畫一些離散的點
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