探討共角三角形的三種經(jīng)典模型，通過實際例子和解題技巧，讓學(xué)生掌握如何運用幾何原理解決復(fù)雜的面積問題。學(xué)生將學(xué)習(xí)如何通過S△ADC聯(lián)系S△ABC和S△ADE，以及如何通過旋轉(zhuǎn)和輔助線將模型二和模型三轉(zhuǎn)化為易于處理的模型一。課程還將介紹共角定理的應(yīng)用，包括如何在多邊形擴展問題中找到鳥頭模型，以及如何利用相似三角形的性質(zhì)解決實際問題。通過金字塔模型和沙漏模型，學(xué)生將能夠快速識別和計算相似三角形的面積比。此外，課程還將涉及三角形與梯形的中位線問題，以及如何通過比例和平方關(guān)系計算相似三角形的面積。本課程旨在培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀和邏輯推理能力，為解決更高級的幾何問題打下堅實的基礎(chǔ)。"
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1、共角三角形有三種常見的模型，對于模型一，我們借助了S△ADC，把S△ABC和S△ADE聯(lián)系了起來
2、
對于模型二，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，就能變成模型一
3、
對于模型三，借助輔助線，也能按照模型一的方法來證明
4、
這三類模型可以綜合在一起，即共角三角形的面積比等于對應(yīng)角（即相等角或互補角）的兩夾邊的乘積之比，或共線的兩組邊的比的乘積
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1、解決了幾道應(yīng)用到共角定理的題目，還專門介紹了涉及一個三角形剪掉幾個角后形成的圖形的題目
2、
總的思路還是整體法，具體操作時，要標(biāo)注清楚每邊上的點分各邊的比例，然后多次運用共角定理，求出周圍這些小三角形和大三角形的面積比，從而得到中央圖形和大三角形的面積比
3、
同學(xué)們要熟記這一定理，這樣才能在這些題型中迅速發(fā)現(xiàn)鳥頭模型，用共角定理馬上求出需要的比例
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1、?對于最基本的擴展多邊形中擴展三角形的題型，可以直接求出周圍三個三角形和中央三角形的面積比，從而求出總面積
2、
對于擴展四邊形，要通過兩次作對角線，構(gòu)造兩次鳥頭模型，這樣才能使用共角定理
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1、講解兩道稍微特殊的多邊形擴展問題：一道是擴展方向不一致，導(dǎo)致有交叉重疊。只要注意使用容斥原理，將重疊的部分減掉即可，難度并不大
2、
另一道難度較大，圖形中只有一組鳥頭模型，除此之外還是要通過找同高三角形來求面積比
3、
輔助線和方程法的使用十分巧妙，同學(xué)們要注意體會
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1、相似三角形的概念：兩個形狀相同的三角形
2、
認識相似三角形的基本性質(zhì)：相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例。這個比例稱為相似比
3、
熟悉第一種相似模型——金字塔模型。它對我們尋找相似三角形很有幫助，在圖中找到金字塔模型，并弄清對應(yīng)線段，就能列出比例式求解
4、
如果未知長度的線段太多，無法直接由比例式求出線段長度，可以采取方程法
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1、相似三角形三邊外的其他對應(yīng)邊，也成相似比
2、
如果已經(jīng)存在的對應(yīng)邊用不上，就可以自己構(gòu)造對應(yīng)邊。比如作高，或者延長得到新的線段
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1、介紹第二種相似模型——沙漏模型。同樣要牢記用“共線或平行”這個特征來尋找對應(yīng)線段，即
2、
如果圖中同時含有兩個模型，就要找它們的公共部分，這樣的線段比，是銜接兩個模型的橋梁
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1、熟悉沙漏模型很常見的一種用法：用沙漏模型求同高圖形的底邊比，無論是同高三角形還是同高平行四邊形，方法都是一樣的
2、
如果題目中存在多個沙漏模型，要努力尋找它們之間的關(guān)系，嘗試結(jié)合使用
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1、相似三角形的面積關(guān)系：相似三角形的面積比等于相似比的平方
2、
當(dāng)我們得到大三角形面積是小三角形面積的$k^{2}$倍后，就知道梯形面積是小三角形面積的$(k^{2}-1)$倍了，和大三角形面積的比例就是$k^{2}:(k^{2}-1)$
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1、把三角形兩邊上的中點連起來，就是三角形的中位線。把梯形兩腰上的中線連起來，就是梯形的中位線
2、
三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。 梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半
3、
三角形中位線相關(guān)的面積規(guī)律：若$DE$是三角形$ABC$的中位線，則三角形$ADE$、梯形$DBCE$與三角形ABC的面積比為$1:3:4$
4、
通過一道例題，還知道了中點四邊形的面積是原四邊形面積的一半這個結(jié)論
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1、在含有中位線的梯形中，上下兩個梯形沒有固定的面積比。在題目中，我們可以利用對角線的相關(guān)條件去推導(dǎo)面積比
2、
在三角形與中位線形成的金字塔模型中，如果把下方梯形的對角線相連，會分割出的四個小三角形，上：左：右：下=1：2：2：4。如果把梯形面積看成1，那面積分別是$\dfrac{1}{9}$、$\dfrac{2}{9}$、$\dfrac{2}{9}$、$\dfrac{4}{9}$
3、
在復(fù)雜圖形中，“看到中點找中點”，這樣構(gòu)造出的中位線往往有妙用
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李淼
超級學(xué)員4
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