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探討共角三角形的三種經(jīng)典模型，通過(guò)實(shí)際例子和解題技巧，讓學(xué)生掌握如何運(yùn)用幾何原理解決復(fù)雜的面積問(wèn)題。學(xué)生將學(xué)習(xí)如何通過(guò)S△ADC聯(lián)系S△ABC和S△ADE，以及如何通過(guò)旋轉(zhuǎn)和輔助線將模型二和模型三轉(zhuǎn)化為易于處理的模型一。課程還將介紹共角定理的應(yīng)用，包括如何在多邊形擴(kuò)展問(wèn)題中找到鳥(niǎo)頭模型，以及如何利用相似三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)金字塔模型和沙漏模型，學(xué)生將能夠快速識(shí)別和計(jì)算相似三角形的面積比。此外，課程還將涉及三角形與梯形的中位線問(wèn)題，以及如何通過(guò)比例和平方關(guān)系計(jì)算相似三角形的面積。本課程旨在培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀和邏輯推理能力，為解決更高級(jí)的幾何問(wèn)題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。"

• 三種模型的統(tǒng)一—共角定理及其證明

  05:40

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  做題0/0
  1、共角三角形有三種常見(jiàn)的模型，對(duì)于模型一，我們借助了S△ADC，把S△ABC和S△ADE聯(lián)系了起來(lái)
  2、 對(duì)于模型二，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)，就能變成模型一
  3、 對(duì)于模型三，借助輔助線，也能按照模型一的方法來(lái)證明
  4、 這三類(lèi)模型可以綜合在一起，即共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角（即相等角或互補(bǔ)角）的兩夾邊的乘積之比，或共線的兩組邊的比的乘積
  
• 尋找鳥(niǎo)頭模型—共角定理的應(yīng)用上

  10:49

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  做題0/20
  1、解決了幾道應(yīng)用到共角定理的題目，還專(zhuān)門(mén)介紹了涉及一個(gè)三角形剪掉幾個(gè)角后形成的圖形的題目
  2、 總的思路還是整體法，具體操作時(shí)，要標(biāo)注清楚每邊上的點(diǎn)分各邊的比例，然后多次運(yùn)用共角定理，求出周?chē)@些小三角形和大三角形的面積比，從而得到中央圖形和大三角形的面積比
  3、 同學(xué)們要熟記這一定理，這樣才能在這些題型中迅速發(fā)現(xiàn)鳥(niǎo)頭模型，用共角定理馬上求出需要的比例
  
• 多邊形的擴(kuò)展—共角定理的應(yīng)用中

  06:51

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  做題0/11
  1、?對(duì)于最基本的擴(kuò)展多邊形中擴(kuò)展三角形的題型，可以直接求出周?chē)齻€(gè)三角形和中央三角形的面積比，從而求出總面積
  2、 對(duì)于擴(kuò)展四邊形，要通過(guò)兩次作對(duì)角線，構(gòu)造兩次鳥(niǎo)頭模型，這樣才能使用共角定理
  
• 多邊形的擴(kuò)展—共角定理的應(yīng)用下

  08:40

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  1、講解兩道稍微特殊的多邊形擴(kuò)展問(wèn)題：一道是擴(kuò)展方向不一致，導(dǎo)致有交叉重疊。只要注意使用容斥原理，將重疊的部分減掉即可，難度并不大
  2、 另一道難度較大，圖形中只有一組鳥(niǎo)頭模型，除此之外還是要通過(guò)找同高三角形來(lái)求面積比
  3、 輔助線和方程法的使用十分巧妙，同學(xué)們要注意體會(huì)
  
• 形狀相同的三角形一—金字塔模型上

  07:36

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  1、相似三角形的概念：兩個(gè)形狀相同的三角形
  2、 認(rèn)識(shí)相似三角形的基本性質(zhì)：相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例。這個(gè)比例稱(chēng)為相似比
  3、 熟悉第一種相似模型——金字塔模型。它對(duì)我們尋找相似三角形很有幫助，在圖中找到金字塔模型，并弄清對(duì)應(yīng)線段，就能列出比例式求解
  4、 如果未知長(zhǎng)度的線段太多，無(wú)法直接由比例式求出線段長(zhǎng)度，可以采取方程法
  
• 形狀相同的三角形二—金字塔模型下

  07:24

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  1、相似三角形三邊外的其他對(duì)應(yīng)邊，也成相似比
  2、 如果已經(jīng)存在的對(duì)應(yīng)邊用不上，就可以自己構(gòu)造對(duì)應(yīng)邊。比如作高，或者延長(zhǎng)得到新的線段
  
• 形狀相同的三角形三—沙漏模型上

  04:50

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  1、介紹第二種相似模型——沙漏模型。同樣要牢記用“共線或平行”這個(gè)特征來(lái)尋找對(duì)應(yīng)線段，即
  2、 如果圖中同時(shí)含有兩個(gè)模型，就要找它們的公共部分，這樣的線段比，是銜接兩個(gè)模型的橋梁
  
• 形狀相同的三角形四—沙漏模型下

  09:29

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  做題0/0
  1、熟悉沙漏模型很常見(jiàn)的一種用法：用沙漏模型求同高圖形的底邊比，無(wú)論是同高三角形還是同高平行四邊形，方法都是一樣的
  2、 如果題目中存在多個(gè)沙漏模型，要努力尋找它們之間的關(guān)系，嘗試結(jié)合使用
  
• 邊長(zhǎng)比的平方—相似模型中的面積比

  10:02

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  1、相似三角形的面積關(guān)系：相似三角形的面積比等于相似比的平方
  2、 當(dāng)我們得到大三角形面積是小三角形面積的$k^{2}$倍后，就知道梯形面積是小三角形面積的$(k^{2}-1)$倍了，和大三角形面積的比例就是$k^{2}:(k^{2}-1)$
  
• 中點(diǎn)的連線—三角形與梯形的中位線

  06:18

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  1、把三角形兩邊上的中點(diǎn)連起來(lái)，就是三角形的中位線。把梯形兩腰上的中線連起來(lái)，就是梯形的中位線
  2、 三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。 梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半
  3、 三角形中位線相關(guān)的面積規(guī)律：若$DE$是三角形$ABC$的中位線，則三角形$ADE$、梯形$DBCE$與三角形ABC的面積比為$1:3:4$
  4、 通過(guò)一道例題，還知道了中點(diǎn)四邊形的面積是原四邊形面積的一半這個(gè)結(jié)論
  
• 中位線的應(yīng)用—中位線和對(duì)角線分割圖形的面積比

  07:25

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  1、在含有中位線的梯形中，上下兩個(gè)梯形沒(méi)有固定的面積比。在題目中，我們可以利用對(duì)角線的相關(guān)條件去推導(dǎo)面積比
  2、 在三角形與中位線形成的金字塔模型中，如果把下方梯形的對(duì)角線相連，會(huì)分割出的四個(gè)小三角形，上：左：右：下=1：2：2：4。如果把梯形面積看成1，那面積分別是$\dfrac{1}{9}$、$\dfrac{2}{9}$、$\dfrac{2}{9}$、$\dfrac{4}{9}$
  3、 在復(fù)雜圖形中，“看到中點(diǎn)找中點(diǎn)”，這樣構(gòu)造出的中位線往往有妙用