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• 課程詳情
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本課程系統(tǒng)講解曲線形面積計(jì)算的核心方法與應(yīng)用技巧，涵蓋從基礎(chǔ)到進(jìn)階的幾何問(wèn)題解決策略。課程以整體法為起點(diǎn)，通過(guò)將不規(guī)則圖形納入規(guī)則圖形框架，結(jié)合 “大圓減小圓”“扇形減三角形” 等公式，重點(diǎn)突破圓環(huán)、弓形等典型圖形的面積計(jì)算。后續(xù)章節(jié)深入解析分割法、重疊法、割補(bǔ)法等實(shí)用技巧，強(qiáng)調(diào)通過(guò)對(duì)稱添補(bǔ)、平移旋轉(zhuǎn)等手段將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，輔以補(bǔ)形法與等積變形法進(jìn)一步拓展解題思路。 課程后半部分聚焦實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，如 “拴牛問(wèn)題” 中牛的活動(dòng)區(qū)域分析，通過(guò)分段討論障礙物長(zhǎng)度與繩長(zhǎng)的關(guān)系，結(jié)合分割、割補(bǔ)等方法計(jì)算覆蓋面積；“旋轉(zhuǎn)掃過(guò)面積” 則結(jié)合線段、直角三角形等繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的幾何特性，推導(dǎo)扇形與組合圖形的面積公式。課程注重邏輯拆解與步驟演示，通過(guò)典型例題幫助學(xué)員掌握 “化曲為直”“化不規(guī)則為規(guī)則” 的思維模式，提升幾何直觀與綜合解題能力，適合對(duì)平面幾何有基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)者進(jìn)一步深化。

• 曲線形面積的求法一—整體法

  08:40

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  做題0/15
  1、?用整體法求含有曲線的幾何圖形的面積，原理也是將所求圖形置于一個(gè)整體圖形當(dāng)中，用整體圖形的面積減掉剩余部分的面積
  
• 曲線形面積的求法二—圓環(huán)與弓形的面積

  13:55

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  做題0/12
  1、圓環(huán)的概念：一大一小兩個(gè)同心圓，它們之間的部分組成的圖形就叫做圓環(huán)。圓環(huán)的面積為大圓面積減去小圓面積，是$\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi (R^{2}-r^{2})$；扇環(huán)的面積公式：圓心角為$n$的扇環(huán)面積為$\dfrac{n\pi (R^{2}-r^{2})}{360}$
  2、 弓形的概念：一條弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形；弓形的面積：扇形的面積減去剩下的等腰三角形的面積
  3、 介紹一種技巧—對(duì)稱添補(bǔ)法，即作出原圖形的對(duì)稱圖形，得到一個(gè)新的規(guī)則圖形，原來(lái)圖形面積就是這個(gè)新圖形面積的一半
  
• 曲線形面積的求法三—分割法與重疊法

  10:50

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  做題0/0
  1、分割法的原理是將原圖形分割為若干個(gè)小圖形。而這些小圖形剛好都是容易求面積的規(guī)則圖形，只要把它們的面積相加，就能得到原圖形了
  2、 重疊法的原理是容斥原理。兩圖形的面積和，整體圖形面積，兩圖形的重疊面積，這三種存在以下三種加減關(guān)系。重疊法一般利用的后兩個(gè)關(guān)系，也就是把陰影部分面積看成重疊面積或整體面積
  
• 曲線形面積的求法四—割補(bǔ)法

  10:07

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  做題0/0
  1、介紹了用割補(bǔ)法求曲線形面積的思路，主要介紹了一類常見(jiàn)問(wèn)題與三種常用技巧
  2、 常見(jiàn)問(wèn)題是弓形的割補(bǔ)問(wèn)題，包括直接的添補(bǔ)與先分割再補(bǔ)充兩種題型，后者通常用于兩個(gè)圓相交形成的重疊部分
  3、 三種技巧分別是對(duì)稱法、平移法與旋轉(zhuǎn)法。三種技巧都是使不規(guī)則圖形變?yōu)橐?guī)則圖形的方法：對(duì)稱法是在對(duì)稱圖形中，將所求圖形中的一些部分變換到形狀相同的其他位置，添補(bǔ)到其他對(duì)稱位置上；而平移法與旋轉(zhuǎn)法分別是利用平移與旋轉(zhuǎn)這兩種手段完成圖形的重新組合
  
• 曲線形面積的求法五—補(bǔ)形法與等積變形法

  10:15

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  做題0/0
  1、?補(bǔ)形法解決曲線形面積問(wèn)題有兩種思路：第一種思路是先補(bǔ)形再作差，也就是先將所求不規(guī)則圖形周圍補(bǔ)上圖形，使整體圖形變得規(guī)則，再用整體圖形面積減去補(bǔ)上的圖形面積
  2、 第二種思路是在討論兩塊不同的曲線型面積時(shí)，可以將它們補(bǔ)上同一塊圖形，再去討論補(bǔ)好以后的面積關(guān)系
  3、 等積變形法的原理是之前介紹過(guò)的平行線間的等積變形規(guī)律，如果沒(méi)有平行線就自己來(lái)構(gòu)造，將所求圖形中的三角形轉(zhuǎn)化為其他更容易求面積的三角形
  
• 拉著繩子走—拴牛問(wèn)題上

  06:51

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  做題0/12
  1、拴牛問(wèn)題的基礎(chǔ)類型，若障礙物在拴牛點(diǎn)一側(cè)的長(zhǎng)度超過(guò)繩子長(zhǎng)度，則牛的活動(dòng)區(qū)域?yàn)檎系K物一側(cè)的半圓；若障礙物在拴牛點(diǎn)一側(cè)的長(zhǎng)度比繩子長(zhǎng)度短，則牛還會(huì)繞到障礙物的另一側(cè)產(chǎn)生新的圓形或扇形范圍，它的半徑是繩子比這一側(cè)的障礙物多出的長(zhǎng)度
  
• 拉著繩子走—拴牛問(wèn)題下

  09:52

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  做題0/8
  1、介紹兩類障礙物稍復(fù)雜的拴牛問(wèn)題：對(duì)于障礙物的長(zhǎng)度不確定的題目，要通過(guò)題目的條件來(lái)求出障礙物的關(guān)鍵長(zhǎng)度；對(duì)于繩長(zhǎng)不確定的題目，要先求繩長(zhǎng)，再研究活動(dòng)范圍
  2、 如果活動(dòng)范圍有重疊，可以運(yùn)用前面課程中介紹的分割法、割補(bǔ)法、重疊法等技巧來(lái)求面積
  
• 轉(zhuǎn)動(dòng)的覆蓋—旋轉(zhuǎn)掃過(guò)面積問(wèn)題

  09:58

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  做題0/10
  1、介紹三類圖形旋轉(zhuǎn)掃過(guò)面積的問(wèn)題：第一類是一個(gè)線段繞著它上面的點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，若旋轉(zhuǎn)中心是線段的端點(diǎn)，則線段掃過(guò)的面積就是這個(gè)扇形的面積
  2、 第二類是當(dāng)該線段和旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)成直角三角形，且該線段是一條直角邊的情況
  3、 第三類是直角三角形繞著它的銳角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)掃過(guò)的面積，和扇形繞著它的弦的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)掃過(guò)的面積