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課程簡介
本課程系統(tǒng)講解曲線形面積計算的核心方法與應用技巧，涵蓋從基礎(chǔ)到進階的幾何問題解決策略。課程以整體法為起點，通過將不規(guī)則圖形納入規(guī)則圖形框架，結(jié)合 “大圓減小圓”“扇形減三角形” 等公式，重點突破圓環(huán)、弓形等典型圖形的面積計算。后續(xù)章節(jié)深入解析分割法、重疊法、割補法等實用技巧，強調(diào)通過對稱添補、平移旋轉(zhuǎn)等手段將復雜圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，輔以補形法與等積變形法進一步拓展解題思路。
課程后半部分聚焦實際應用問題，如 “拴牛問題” 中牛的活動區(qū)域分析，通過分段討論障礙物長度與繩長的關(guān)系，結(jié)合分割、割補等方法計算覆蓋面積；“旋轉(zhuǎn)掃過面積” 則結(jié)合線段、直角三角形等繞點旋轉(zhuǎn)的幾何特性，推導扇形與組合圖形的面積公式。課程注重邏輯拆解與步驟演示，通過典型例題幫助學員掌握 “化曲為直”“化不規(guī)則為規(guī)則” 的思維模式，提升幾何直觀與綜合解題能力，適合對平面幾何有基礎(chǔ)的學習者進一步深化。
視頻列表
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1、?用整體法求含有曲線的幾何圖形的面積，原理也是將所求圖形置于一個整體圖形當中，用整體圖形的面積減掉剩余部分的面積
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1、圓環(huán)的概念：一大一小兩個同心圓，它們之間的部分組成的圖形就叫做圓環(huán)。圓環(huán)的面積為大圓面積減去小圓面積，是$\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi (R^{2}-r^{2})$；扇環(huán)的面積公式：圓心角為$n$的扇環(huán)面積為$\dfrac{n\pi (R^{2}-r^{2})}{360}$
2、
弓形的概念：一條弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形；弓形的面積：扇形的面積減去剩下的等腰三角形的面積
3、
介紹一種技巧—對稱添補法，即作出原圖形的對稱圖形，得到一個新的規(guī)則圖形，原來圖形面積就是這個新圖形面積的一半
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1、分割法的原理是將原圖形分割為若干個小圖形。而這些小圖形剛好都是容易求面積的規(guī)則圖形，只要把它們的面積相加，就能得到原圖形了
2、
重疊法的原理是容斥原理。兩圖形的面積和，整體圖形面積，兩圖形的重疊面積，這三種存在以下三種加減關(guān)系。重疊法一般利用的后兩個關(guān)系，也就是把陰影部分面積看成重疊面積或整體面積
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1、介紹了用割補法求曲線形面積的思路，主要介紹了一類常見問題與三種常用技巧
2、
常見問題是弓形的割補問題，包括直接的添補與先分割再補充兩種題型，后者通常用于兩個圓相交形成的重疊部分
3、
三種技巧分別是對稱法、平移法與旋轉(zhuǎn)法。三種技巧都是使不規(guī)則圖形變?yōu)橐?guī)則圖形的方法：對稱法是在對稱圖形中，將所求圖形中的一些部分變換到形狀相同的其他位置，添補到其他對稱位置上；而平移法與旋轉(zhuǎn)法分別是利用平移與旋轉(zhuǎn)這兩種手段完成圖形的重新組合
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1、?補形法解決曲線形面積問題有兩種思路：第一種思路是先補形再作差，也就是先將所求不規(guī)則圖形周圍補上圖形，使整體圖形變得規(guī)則，再用整體圖形面積減去補上的圖形面積
2、
第二種思路是在討論兩塊不同的曲線型面積時，可以將它們補上同一塊圖形，再去討論補好以后的面積關(guān)系
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等積變形法的原理是之前介紹過的平行線間的等積變形規(guī)律，如果沒有平行線就自己來構(gòu)造，將所求圖形中的三角形轉(zhuǎn)化為其他更容易求面積的三角形
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1、拴牛問題的基礎(chǔ)類型，若障礙物在拴牛點一側(cè)的長度超過繩子長度，則牛的活動區(qū)域為障礙物一側(cè)的半圓；若障礙物在拴牛點一側(cè)的長度比繩子長度短，則牛還會繞到障礙物的另一側(cè)產(chǎn)生新的圓形或扇形范圍，它的半徑是繩子比這一側(cè)的障礙物多出的長度
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1、介紹兩類障礙物稍復雜的拴牛問題：對于障礙物的長度不確定的題目，要通過題目的條件來求出障礙物的關(guān)鍵長度；對于繩長不確定的題目，要先求繩長，再研究活動范圍
2、
如果活動范圍有重疊，可以運用前面課程中介紹的分割法、割補法、重疊法等技巧來求面積
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1、介紹三類圖形旋轉(zhuǎn)掃過面積的問題：第一類是一個線段繞著它上面的點旋轉(zhuǎn)，若旋轉(zhuǎn)中心是線段的端點，則線段掃過的面積就是這個扇形的面積
2、
第二類是當該線段和旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)成直角三角形，且該線段是一條直角邊的情況
3、
第三類是直角三角形繞著它的銳角頂點旋轉(zhuǎn)掃過的面積，和扇形繞著它的弦的端點旋轉(zhuǎn)掃過的面積
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李淼
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