本課程深入探討了容斥原理及其在解決重疊問題中的應(yīng)用，首先介紹了容斥原理的基本公式，解釋了如何在兩量重疊問題中去除重復(fù)計數(shù)，并通過韋恩圖形象展示了這一概念。接著，課程深入講解了三量重疊問題的公式，指導(dǎo)學(xué)生如何準確計算至少滿足一類條件的個數(shù)。此外，課程還介紹了補漏法和方程法，幫助學(xué)生處理特殊條件下的三量重疊問題。課程進一步探討了極限法、分步法和反面法，為解決最值問題提供了多種思路。
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1、?容斥原理的公式一，也被稱作兩量重疊問題：如果被計數(shù)的事物有A、B兩類，則A或B=A+B-A且B。也可以根據(jù)韋恩圖“總數(shù)，等于兩類數(shù)目之和，減去重復(fù)數(shù)目”這個方式去形象記憶。
2、
有的題目在公式一的基礎(chǔ)上還存在“非A且非B”。這種情況不過就是擴大了全體數(shù)目的范圍，稍做變形可知，A且B=A+B+非A且非B-全體數(shù)目。
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1、兩種韋恩圖，不重合的區(qū)域分別有三塊和四塊。對應(yīng)的類別分別是“A且非B”、“B且非A”、“A且B”和“非A且非B”，這些區(qū)域能幫助我們進行無重復(fù)分類。
2、
我們用容斥原理解決了兩道數(shù)論類的題目，它們都符合相同的韋恩圖模型。
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1、由韋恩圖發(fā)現(xiàn)，若A且B達到最大值，為A、B中較小一類的數(shù)目，則A或B達到最小值，為A、B中較大一類的數(shù)目。非A且非B也達到最大值，為全體數(shù)目-A、B中較大一類的數(shù)目；若A且B達到最小值0，則A或B達到最大值，為A+B。非A且非B也達到最小值，為全體數(shù)目-A-B。
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1、如果全體小于A+B，則A、B兩圓無法完全分離的，總有重疊部分。此時，“A或B”的最大值就是全體數(shù)目，“非A且非B”的最小值就是0，“A且B”的最小值就是A+B-全體數(shù)目。
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1、容斥原理的公式一可以解決兩圖形的重疊問題，兩圖形的覆蓋面積，等于它們的面積和，減去重疊區(qū)域的面積。
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對于多個有重疊的幾何圖形，如果重疊部分都是由其中兩個圖形產(chǎn)生的，那么這些圖形覆蓋的面積就等于所有圖形的面積和減去所有重疊部分的面積。
3、
在例題中，我們通過割補法，確定了不規(guī)則四邊形的面積等于所在大正方形面積的四分之一。
4、
如果重疊區(qū)域很多，我們可以通過列等式的方式來研究面積關(guān)系。
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1、三量重疊問題的公式，即容斥原理的公式二：如果被計數(shù)的事物有$A$、$B$、$C$三類，那么$A$類或$B$類或$C$類事物個數(shù)$=A$類事物個數(shù)$+B$類事物個數(shù)$-$既是$A$類又是$B$類的事物個數(shù)$-$既是$A$類又是$C$類的事物個數(shù)$-$既是$B$類又是$C$類的事物個數(shù)$-$既是$A$類又是$B$類又是$C$類的事物個數(shù)
2、
在具體計算時為了方便可以將條件分為這三類：滿足某一類的、滿足兩類的，以及滿足三類的個數(shù)。用滿足某一類的個數(shù)和減去滿足兩類的個數(shù)和，再加上滿足三類的個數(shù)，得到的就是至少滿足一類的個數(shù)
3、
在三量重疊問題中，全體個數(shù)$=A$或$B$或$C$的個數(shù)加上非$A$非$B$非$C$的個數(shù)。
4、
如果不存在三層重疊，且兩層重疊區(qū)域和覆蓋面積一樣大，可以用重疊的扇形來表示，它們相互重疊后會圍成一個整圓。
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1、三量重疊問題中的兩層重疊分別是$A$與$B$、$A$與$C$和$B$與$C$代表的兩類重疊；以及$A$、$B$、$C$的三類重疊
2、
注意這兩種說法："滿足$A$和$B$的"和"只滿足$A$和$B$的"，滿足$A$和$B$的是所有$A$、$B$重疊的部分，包含$A$、$B$、$C$重疊的部分；而只滿足$A$和$B$的要從$A$、$B$重疊的部分中減掉$A$、$B$、$C$重疊的部分
3、
為了準確利用公式二可采用兩種針對"只滿足$A$和$B$的"這種條件的方法：補漏法與方程法，其中方程法可以配合韋恩圖來操作
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1、介紹處理三類重疊問題的四種思路，第一種是極限法：(1)當(dāng)已知三種兩類重疊的個數(shù)時，三類重疊的個數(shù)最大值就是其中兩類重疊的最小值，而如果沒有全體個數(shù)的限定，三類重疊的個數(shù)最小值就是$0$。
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(2)如果條件有全體個數(shù)的限定，三類重疊的個數(shù)最小值還是$0$，而最大值則需要通過公式二來計算得到，即全體個數(shù)$-$一類個數(shù)和$+$兩類重疊個數(shù)和
3、
第二種是分步法：分為兩步，先討論其中兩類重疊的個數(shù)，再討論它與第三類重疊的個數(shù)，分步法在操作時還可以結(jié)合線形圖。
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1、正面和反面，在韋恩圖中剛好能構(gòu)成全體。重疊類“A且B”的反面是“非A或非B”，即至少不屬于其中一類。
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多量重疊部分“A且B且C”的反面就是“非A或非B或非C”。
3、
由正反兩類數(shù)目相加等于全體可知，當(dāng)一類的數(shù)目達到最大值時，另一類的數(shù)目必然就是最小值。這就是反面法解決最值問題的原理。
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