作為三角函數(shù)的入門知識，本章課程的難度不容小視。同學(xué)們將學(xué)習(xí)到三種新的三角函數(shù)名稱：正弦、余弦和正切，并且要非常熟悉它們所代表的邊長比例關(guān)系。此外，還有一些特殊角度的三角函數(shù)值和各種三角函數(shù)關(guān)系式都需要牢記和靈活運用。本章考察的內(nèi)容綜合性很強，會和三角形，四邊形，圓等內(nèi)容有緊密的聯(lián)系。還會涉及大量的代數(shù)變形運算，并延伸出俯仰角，方向角，坡角等一系列的應(yīng)用型大題，難度系數(shù)可想而知。不過超級課堂依舊會通過細(xì)膩的動畫和深入淺出的講解，結(jié)合典型例題，幫助超級學(xué)員們攻克難關(guān)，玩轉(zhuǎn)三角函數(shù)！
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1、正弦就是對邊比斜邊，余弦就是鄰邊比斜邊，正切就是對邊比鄰邊。
2、
三角函數(shù)就是一種以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。三角函數(shù)值就是一個比例。
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1、我們介紹了簡單的三角函數(shù)值的求法。
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知道直角三角形中的任意兩邊，或者任意兩邊的比例，或者任意一個三角函數(shù)值，都能利用勾股定理，把每種三角函數(shù)值都求出來。
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1、我們介紹了如何在給定圖形中求某個角的三角函數(shù)值。
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必須在直角三角形里求，如果所求的角并不在直角三角形里，可以采取構(gòu)造法或角度替換法來解決。
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1、記住三種特殊角的三角函數(shù)值：$sin30^{\circ}
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=\dfrac{1}{2}$，$cos30^{\circ} =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$tan30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。$sin45^{\circ}
3、
4、
=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$cos45^{\circ} =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$tan45^{\circ}=1$。$sin60^{\circ}
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6、
=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$cos60^{\circ} =\dfrac{1}{2}$，$tan60^{\circ}=\sqrt{3}$。
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這節(jié)課最重要的還是在于記憶，對三大奇葩特殊角，和它們對應(yīng)的三組函數(shù)值，有充分的熟悉，這點對于你以后快速解題，找到邊長角度關(guān)系，有著決定性意義，后面的內(nèi)容可是分分鐘都要用到這些知識點哦。
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1、我們介紹了角度和三角函數(shù)值的“一一對應(yīng)”關(guān)系。
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在銳角范圍內(nèi)，一個角對一個值，一個值也對一個角。所以可以通過特殊角得到特殊值，也可以通過特殊值得到特殊角
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1、我們介紹了如何利用構(gòu)造法，求15度和75度的三角函數(shù)值。
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15度與75度角并不常用，它們的三角函數(shù)值只需了解就好，不需要記住，這種構(gòu)造的思想其實比函數(shù)值更加重要，需要你好好體會。
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1、?同角三角函數(shù)的平方關(guān)系：$sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1$。
2、
利用平方關(guān)系，可以實現(xiàn)正弦與余弦的互化。
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1、?利用平方關(guān)系解題，蘊藏著一大技巧，那就是正弦、余弦的和、差、積，知一求二。
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1、?我們介紹了一些利用平方關(guān)系解題的實用技巧，比如對已知式子進行變形，采用整體思想代入求解。
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1、同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系：$tan\alpha =\dfrac{sin\alpha }{cos\alpha }$。
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利用商數(shù)關(guān)系，可以實現(xiàn)“弦化切”。
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含有三角函數(shù)的式子，對$1$要靈活處理，經(jīng)常利用平方關(guān)系，化身為$sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha $。
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1、關(guān)于互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系，要記住三個基本公式$sin(90^{\circ}-\alpha )=cos\alpha ^{2}$，$cos(90^{\circ}-\alpha )=sin\alpha ^{3}$，$ tan(90^{\circ}-\alpha )=\frac{1}{tan\alpha } $。
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1、?互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系聯(lián)系在一起又推出了兩個新的公式。$sin^{2}\alpha +sin^{2}（90^{\circ}-\alpha ）=1$和$cos^{2}\alpha +cos^{2}（90^{\circ}-\alpha ）=1$，記為互余兩角正弦或余弦的平方和都是$1$。
2、
還通過例題向你展示了分組思想的巧妙，你要對和為$90^{\circ}$的一對角度特別敏感，順利的完成配對。
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到這里，初中三角函數(shù)的基本關(guān)系網(wǎng)就全部介紹完畢了，我們可以把這幾節(jié)課的關(guān)系圖拼在一起，所有這些公式都是需要你非常熟悉，能夠記住的，三角函數(shù)圈的那些事兒其實就這么清晰！
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1、三角函數(shù)的有界性確定了三角函數(shù)值整體的范圍：$0＜ sin\alpha ＜ 1,0＜ cos\alpha ＜ 1,tan\alpha ＞0$。我們通過它來驗證所求值是否可能成為三角函數(shù)值。
2、
增減性確定了在銳角范圍內(nèi)，$sin\alpha $和$tan\alpha $會隨著$\alpha $的增大而增大，而$cos\alpha $會隨著$\alpha $的增大而減小。
3、
各種不同的題型，最終都只利用了三角函數(shù)的兩大性質(zhì)，有界性和增減性，你可要徹底記住哦！
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1、主要內(nèi)容是三角函數(shù)增減性的應(yīng)用一和應(yīng)用二。
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應(yīng)用一：同一種三角函數(shù)，不同角之間的大小比較。對于$sin\alpha $和$tan\alpha $，角越大則值越大，值越大則角越大；對于$cos\alpha $，角越大則值越小，值越大則角越小。
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應(yīng)用二：同一個角度，不同三角函數(shù)之間的大小比較。（1）比較$sin\alpha $和$cos\alpha $：當(dāng)$\alpha ＜45^{\circ}$時，$sin\alpha ＜cos\alpha $；當(dāng)$\alpha ＞45^{\circ}$時$sin\alpha ＞cos\alpha $；當(dāng)$\alpha =45^{\circ}$時，$sin\alpha =cos\alpha $。（2）比較$sin\alpha $和$tan\alpha $：在銳角范圍內(nèi)$sin\alpha $始終小于$tan\alpha $。
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1、主要內(nèi)容是三角函數(shù)增減性的應(yīng)用三。
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應(yīng)用三：確定范圍，根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的范圍，或根據(jù)三角函數(shù)值的范圍確定角的范圍。需要你牢記三種特殊角的三角函數(shù)值，由角到值就要添函數(shù)名，由值到角就要去函數(shù)名。要注意對于$sin\alpha $和$cos\alpha $的變化不用變號，$cos\alpha $的變化需要變號。
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1、解直角三角形的概念是，在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程。它遵循知二求三的原則，包含兩種情況：已知兩邊或已知一邊一角。由邊求邊用勾股，由角求角用互余，邊角互求用三角函數(shù)。這就是解直角三角形的依據(jù)。
2、
要記住三組關(guān)系，一組是$a=csinA$和$b=csinB$，簡記為“直角邊等于斜邊乘以對角的正弦”。第二組是$a=ccosB$和$b=ccosA$，簡記為“直角邊等于斜邊乘以鄰角的余弦”。第三組是$a=btanA$和$b=atanB$，簡記為“直角邊等于另一直角邊乘以對角的正切”。
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1、?我們介紹了邊角關(guān)系知二求三在題目中的具體應(yīng)用。
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這節(jié)課還是在幫你熟悉各個三角函數(shù)的定義，通過角度對應(yīng)的三角函數(shù)值，確定邊長的比例關(guān)系，解出直角三角形的每一個元素。
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1、我們認(rèn)識了三角函數(shù)的一種題型——三角形嵌套模型。在利用三角函數(shù)求復(fù)雜圖形的邊長時，要注意將條件湊到一個直角三角形中。
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1、我們認(rèn)識了三角函數(shù)的第二種題型——圓上解直角三角形，要學(xué)會利用直徑構(gòu)造直角三角形，利用圓周角定理進行角的轉(zhuǎn)化。
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1、要確定一個一般三角形的形狀，至少要知道三個元素，而且至少要知道一條邊的長度。
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作高分割三角形的第一類常見題型是已知兩角一邊，可分為兩角+對邊和兩角+夾邊。
3、
已知兩角一邊的情況時的解題步驟。首先過未知角的頂點作高，將圖形分成兩個直角三角形。然后利用作為公共邊的高，去解第二個直角三角形，或者建立方程。
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1、我們介紹了作高解一般三角形的第二類常見題型——已知兩邊一角，可分為兩邊+夾角和兩邊+對角。
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當(dāng)已知兩邊+夾角時，過未知角的頂點作高，分成兩個直角三角形；當(dāng)已知兩邊+對角時，將已知的兩邊分別作為兩個直角三角形的斜邊，但要注意分類討論。
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1、作高的技巧是，過未知角的頂角作高，在作高時要保留已知角。而且除了已知兩邊+夾角的情況，盡量保留已知邊，充分利用所給的邊、角條件。唯一需要注意的是兩邊+對角的題型，有兩種情況，要分類討論。
2、
講解一道較難的題目，要注意畫圖，當(dāng)無法直接求出邊長時，可以選擇嘗試用勾股定理列方程。
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1、三角形的面積公式$S=\frac{1}{2absin\alpha }$，即任意兩邊的乘積乘以它們夾角的正弦除以$2$。
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當(dāng)$\angle C$為直角時，$sinC$取$1$。
3、
當(dāng)$\angle C$為鈍角時，$C$取$\angle C$的補角。
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1、三角形的面積公式$S=\dfrac{1}{2}absinC$ ，除了計算面積，在證明題當(dāng)中，也有妙用。
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1、?平行四邊形的面積公式$S=absin\alpha $積乘以它們夾角的正弦。若$\alpha $是直角，則$sin\alpha $取$1$；若$\alpha $是鈍角，則$sin\alpha $取$sin(180^{\circ}-\alpha )$。
2、
四邊形的面積公式為$S=\dfrac{1}{2}absin\theta $ 。即四邊形的面積等于對角線乘積乘以它們夾角的正弦除以$2$。當(dāng)對角線垂直時，$sin\theta $取$1$，$S=\dfrac{1}{2}ab$。
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1、在測量時，視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫仰角，視線在水平線下方的叫俯角。
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1、關(guān)于解決實際測量應(yīng)用題，總結(jié)了兩種基本圖形，與各自旋轉(zhuǎn)$90$度后的變形。
2、
基本圖形1推導(dǎo)出的公式為$b=a\cdot \dfrac{tan\alpha \cdot tan\beta }{tan\beta -tan\alpha}$
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基本圖形2推導(dǎo)的出的公式為$b=a\cdot \dfrac{tan\alpha \cdot tan\beta }{tan\beta + tan\alpha }$。
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1、當(dāng)測量點不在地面時，不要忘記把人或儀器的高度加上去。
2、
最后是一種基本圖形的變相應(yīng)用，通過輔助線來構(gòu)造基本圖形。
3、
利用這節(jié)課的技巧，再配上一臺能測量仰俯角的測繪儀器，你就完成了測繪學(xué)的入門課程。不管是摩天大樓，還是高山之巔，通過基本圖形和公式，就沒有你求不出的高度。
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1、坡面的鉛直高度$h$和水平寬度l的比叫做坡面的坡度，也叫坡比，一般用$i$來表示，坡面與水平面的夾角$\alpha $叫做坡角。坡度是坡角的正切，即$i=tan\alpha $。
2、
坡度也可以用任意兩點垂直距離與水平距離的比來表示。坡面距離，垂直距離和水平距離三者會構(gòu)成此類應(yīng)用題中的直角三角形，直接運用三角函數(shù)解決。
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1、我們學(xué)習(xí)了坡面上的影長問題。光線、物體和影子構(gòu)成三角形，如果物體在平坡上則構(gòu)成四邊形，就要作輔助線將四邊形拆分為兩個特殊三角形，再來求相關(guān)邊長。
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1、方向角的定義：以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向線旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角。
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要熟悉正北、正南、正東、正西，以及東北、東南、西北和西南所代表的方向角。
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1、方向角問題，實質(zhì)依然是解直角三角形，“作高”是最常用的手段，測得的方向角都可以直接或間接地轉(zhuǎn)化到所解的三角形內(nèi)。
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1、對于有些高難度的方向角題目，沒有直接給出邊長，這時可以選擇設(shè)元法列方程，利用勾股定理解出需要的長度。
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出海歸來，我們來概括一下解直應(yīng)用系列課程的內(nèi)容，仰角俯角問題、坡度坡角問題和方向角問題，都是把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，這種轉(zhuǎn)化包括兩個方面：一是將實際問題的圖形轉(zhuǎn)化為幾何圖形，畫出正確的平面或截面示意圖，二是將已知條件轉(zhuǎn)化為示意圖中的邊、角或它們之間的關(guān)系。在解三角形時，如果示意圖不是直角三角形，要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出直角三角形。
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