金字塔模型、蝴蝶定理及其變式（包括燕尾定理）是解決復雜幾何問題的關鍵工具。平行線法通過在三角形一邊上特定位置的點作另一邊的平行線，構建金字塔模型，幫助求解三角形中的比例問題。蝴蝶定理描述了被對角線分割的四邊形中四個三角形的面積關系，分為比例式和乘積式兩種形式。蝴蝶定理公式二進一步提供了具有公共邊的兩個三角形面積比的規(guī)律，即面積比等于相應頂點到交點的距離之比。燕尾定理作為蝴蝶定理的特殊情況，適用于三角形內部的兩個共邊三角形，其面積比等于公共邊延長線分另一邊的比例。這些定理不僅簡化了幾何問題的求解過程，還提高了解題的效率和準確性。
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1、直接作平行線最常見的方式就是過三角形一邊上特定位置的點，作另一邊的平行線，從而構建金字塔模型
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平行線能幫我們求出BC邊被分割成的線段的比例，為在金字塔模型中求相似比和面積比直接提供了條件
3、
這種圖形涉及三個點分四條線段的四個比例。只要畫出平行線，構造出兩個金字塔模型，就能由其中兩個比例，求出另外兩個比例
4、
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1、平行于梯形上下底的直線，和兩腰的交點在腰上的位置相同，$\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{DF}{FC}$
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最后一道難題，關鍵是作出平行線后，求出三個比例。M分PG的比例和N分GQ的比例，要用兩組沙漏模型來求
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1、第一種間接構造平行線的方式，是根據面積比的條件來作高，從而得到兩條平行線，構造出金字塔模型；第二種間接構造平行線的方式，是連接三角形兩邊相同位置的點，形成底邊的平行線。
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1、主要內容就是蝴蝶定理的公式一，它描述了在被對角線分割的四邊形中，四個三角形的面積關系
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它有兩種形式。一種是比例式，可以記作相鄰的兩組三角形面積比例相等，只要確保內部誰比誰的方向一致就很容易記住
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另一種是乘積式，可以記作相對的兩個三角形面積的乘積相等。
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1、主要內容就是在梯形中運用蝴蝶定理，常用的結論有四條$S_{上}:S_{左}:S_{右}:S_{下}=a^{2}:ab:ab:b^{2}$
2、
靈活運用能幫助我們求這四個三角形的面積
3、
要注意圖中的交叉線段，添加輔助線就能構造蝴蝶定理的模型。
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1、蝴蝶定理的公式二：$\dfrac{S_{\triangle ADC}}{S_{\triangle ABC} }$$=\dfrac{OD}{OB}$，$\dfrac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle CBD} }$$=\dfrac{OA}{OC}$
2、
利用公式二得到的具有公共邊的兩個三角形的面積比規(guī)律：若兩個三角形具有公共邊，將另外兩個頂點相連與公共邊交于一點，則它們的面積比等于相應頂點到交點的距離之比
3、
在同一方向上，大三角形的面積比，等于小三角形的面積比，等于該方向上對角線被分成的兩節(jié)線段的長度比
4、
把公式二的模型簡化一下，可以看成“同底三角形面積比等于高之比”的一種變式
5、
無論這兩個三角形是鈍角三角形，還是它們在同側，結論依舊成立
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1、三道例題，都不算簡單
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仔細回顧這三道題，同學們就能對圖中隱藏的蝴蝶定理模型更敏感，在之后的題目中也能更順利地利用公式二求出面積比例
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1、主要內容就是蝴蝶定理公式二的逆用，根據有公共邊的三角形的面積比得到線段比
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對于涉及三角形中三個點在四條線段的位置的題目，就可以把邊上的兩個點連起來，用蝴蝶定理公式二去解
3、
再求三角形面積的過程中，我們要注意利用中介三角形來寫出面積連比。
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1、相比之前的題目，本節(jié)課的兩道題在使用蝴蝶定理公式二時，就很隱蔽，所以難度也增大了不少
2、
同學們要仔細體會這兩道題在思路上的步驟
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1、?燕尾定理是蝴蝶定理公式二的一種特殊情況，即三角形內部的兩個共邊三角形的面積比，等于公共邊的延長線分另一邊的比例
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燕尾定理應用的常見圖形，只要解出三個小三角形面積的連比，那么三條邊上點的位置就能根據對應的兩個三角形的面積比確定。
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1、用燕尾定理解決了三道難度較大的題目。第一題，燕尾定理幫我們用面積比推出了點的位置
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第二題，當我們得到多組面積比時，可以考慮列方程
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第三題，要用輔助線代替干擾線段，構造燕尾定理模型。
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1、用燕尾定理求角四邊形面積，要連接三角形的頂點與內部的交點。把角四邊形分割成兩個三角形后，再用燕尾定理求出內部所有三角形的面積比。
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1、用燕尾定理求三角形內部交織圖形的面積
2、
用燕尾定理求一塊更大的三角形的面積，再減去前一塊圖形的面積，或求同高三角形的面積
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李淼
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