了解了對數(shù)的概念，本章節(jié)我們將要學(xué)習(xí)的就是對數(shù)函數(shù)。作為指數(shù)函數(shù)的對手，對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用也五花八門。超級課堂將帶領(lǐng)你一點一點地去熟悉對數(shù)函數(shù)，從函數(shù)的單調(diào)性入手，教你如何解對數(shù)不等式、進(jìn)行對數(shù)函數(shù)的大小比較等問題。更從最通俗的角度對數(shù)函數(shù)極具特點的嵌套對數(shù)展開深入的講解。基本初等函數(shù)既不基本也不初等，超級課堂與你共度難關(guān)！
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1、對數(shù)函數(shù)的概念，判斷對數(shù)函數(shù)要注意三點：(1)底數(shù)$a$為大于$0$且不為$1$的常數(shù)。(2)真數(shù)位置上只能有$x$這一項。(3)整個對數(shù)式的系數(shù)必須是$1$，且后面不能有不為零的常數(shù)。對數(shù)函數(shù)的定義域為$(0,＋\infty )$。確定底數(shù)$a$可以采用待定系數(shù)法，但不能帶入$(1,0)$，因為對數(shù)函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點$(1,0)$
2、
$0＜a＜1$時，圖象下降，函數(shù)遞減。當(dāng)$a＞1$時，圖象上升，函數(shù)遞增。
3、
圖象都在$y$軸右側(cè)，$y$軸是它們的漸近線，值域為$R$。且都經(jīng)過$(1,0)$這個定點。若兩個對數(shù)函數(shù)的底數(shù)互為倒數(shù)。它們的圖象總關(guān)于$x$軸對稱。
4、
對比指數(shù)函數(shù)的圖象，它們的定義域和值域恰好相反。都過定點。且單調(diào)性受$a$影響的規(guī)律是一致的。即底數(shù)$0＜a＜1$,兩種函數(shù)都是單減的；$a＞1$都是單增的
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1、學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)圖象在題目中的應(yīng)用
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1、認(rèn)識第一類絕對值函數(shù)的圖象及常用規(guī)律
2、
第一類是套$x$的類型，圖象左右對稱。根據(jù)$a$的范圍，分為喇叭口朝下和朝上兩種圖象。常見的還有它的平移變換后的函數(shù)，變換依舊遵循“左加右減”原則。對稱軸為$x=-k$
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1、認(rèn)識第二類絕對值函數(shù)的圖象及常用規(guī)律
2、
第二類是整體套類型，圖象都為$v$型，頂點都為$(1,0)$。但要注意$a$會影響每段圖象對應(yīng)的解析式，在畫圖時，不妨也寫出每段的解析式
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1、學(xué)習(xí)兩種套法相結(jié)合的絕對值函數(shù)。作圖象時，按前面兩種畫法分步操作即可。圖象為關(guān)于$x=-k$對稱的斷開的“$vv$”型
2、
兩個頂點在$x$軸上，分別為$(-1-k,0)$和$(1-k,0)$
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1、認(rèn)識有關(guān)對數(shù)函數(shù)的第一類題型——由單調(diào)性求字母范圍
2、
由函數(shù)遞減推出$0＜a＜1$，由函數(shù)遞增推出$a＞1$。涉及分段函數(shù)單調(diào)性滿足的條件，以及通過圖象判斷字母參數(shù)的范圍，要注意結(jié)對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用—對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與值域合二次函數(shù)的知識
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1、認(rèn)識有關(guān)對數(shù)函數(shù)的第二類題型——與值域相關(guān)的問題
2、
當(dāng)?shù)讛?shù)固定時，根據(jù)單調(diào)性，結(jié)合圖象就能求出相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的值域
3、
當(dāng)?shù)讛?shù)有未知字母時，若條件給出的是最值之和，則不需要準(zhǔn)確知道哪個是最大值，哪個是最小值，故不需要分類討論。若給出的是最值之差，或倍數(shù)關(guān)系，則需要搞清哪個是最大值，哪個是最小值，此時需要按底數(shù)分類討論。
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1、?對于第一類對數(shù)不等式，解法是將常數(shù)$b$化為以$a$為底數(shù)的對數(shù)$log_{a}a^$，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)$y=log_{a}x$的單調(diào)性來得到真數(shù)$f(x)$與$a^$的大小關(guān)系，同時要注意真數(shù)$f(x)＞0$
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1、對于第二類對數(shù)不等式$log_{a}f(x)＜log_{a}g(x)$，可以根據(jù)底數(shù)決定的外層對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得到內(nèi)層函數(shù)$f(x)$與$g(x)$的大小關(guān)系。不過要注意，真數(shù)都是要大于$0$的。所以一般會得到三個不等式組成的不等式組
2、
如果不等式兩側(cè)底數(shù)不同，就要進(jìn)行化同底。如果兩個對數(shù)的底數(shù)不能直接相互轉(zhuǎn)化，就要把它們的底數(shù)轉(zhuǎn)化成另外同一個數(shù)
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1、對于第二類對數(shù)不等式，如果對數(shù)式的底數(shù)含有參數(shù)，就要分類討論
2、
最后一道題要注意的是，在通過不等式組求交集時，要利用底數(shù)分類的前提條件
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1、?對于第三類對數(shù)不等式，及可以化為這種形式的不等式，可以采用是換元法
2、
通過兩邊同時平方，化同底，取對數(shù)等處理，某些不等式都能變成第三類對數(shù)不等式的基本形式
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1、講解了一道第三類對數(shù)不等式的綜合題，核心解法就在于對于$x^{log_{a}x}$這一項的處理，大家要記住對它取對數(shù)，從而把指數(shù)變成系數(shù)
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1、對于含$x$的項較多，且無法用換元法化簡的對數(shù)不等式，要嘗試用圖象法去解決
2、
把含對數(shù)式的項和其他類型的項分別放在不等號兩邊。觀察出它們屬于那種函數(shù)結(jié)構(gòu)，通過圖像的上下關(guān)系，來求不等式的解集
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1、學(xué)習(xí)第一種解決不規(guī)則的指數(shù)不等式、對數(shù)不等式的方法——利用相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)法
2、
通過移項，使不等號兩側(cè)結(jié)構(gòu)相同，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)
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1、學(xué)習(xí)第二種解決不規(guī)則指數(shù)不等式、對數(shù)不等式的方法——整體構(gòu)造函數(shù)法
2、
通過每一項都除以同一個指數(shù)式，整體構(gòu)造出一個單調(diào)性確定的函數(shù)
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1、講解一道綜合利用構(gòu)造函數(shù)法，解決不規(guī)則指數(shù)不等式、對數(shù)不等式的題目
2、
對于更加不規(guī)則的對數(shù)不等式，需要通過換元，恒等式等數(shù)學(xué)工具進(jìn)行轉(zhuǎn)化
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1、介紹如何利用構(gòu)造函數(shù)法，解決不規(guī)則的指數(shù)不等式、對數(shù)不等式
2、
可以通過移項，使不等號兩側(cè)結(jié)構(gòu)相同，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)
3、
也可以通過每一項都除以同一個指數(shù)式，整體構(gòu)造出一個單調(diào)性確定的函數(shù)
4、
對于更加不規(guī)則的對數(shù)不等式，需要通過換元，恒等式等數(shù)學(xué)工具進(jìn)行轉(zhuǎn)化
5、
最后一道題就是一個很典型的例子，同學(xué)們要好好揣摩這兩大技巧和思維步驟
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1、利用圖象法和換底法解決第二類—底數(shù)不同，真數(shù)相同的對數(shù)式大小比較問題
2、
圖象法的關(guān)鍵，是要記住底數(shù)和圖象位置關(guān)系的規(guī)律。通過這個規(guī)律就能畫出底數(shù)不同的對數(shù)函數(shù)圖像的大致位置關(guān)系，再用一根代表相同真數(shù)的豎線，根據(jù)交點的上下關(guān)系，就能判斷出對數(shù)值的大小關(guān)系。當(dāng)然，也能反用，通過圖像，判斷底數(shù)的大小關(guān)系
3、
換底法，即把題目化為以同底數(shù)對數(shù)為分母的倒數(shù)的大小比較問題
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1、學(xué)習(xí)處理底數(shù)、真數(shù)都不同的對數(shù)式的大小比較的第一種方法——標(biāo)準(zhǔn)值法
2、
對于標(biāo)準(zhǔn)值法，可以選取$0$或$\pm 1$作為標(biāo)準(zhǔn)值。同時要記住一個常用規(guī)律：如果底數(shù)與真數(shù)同大于$1$或同小于$1$，那么對數(shù)值大于$0$；如果底數(shù)與真數(shù)一個大于$1$，一個小于$1$，那么對數(shù)值小于$0$
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1、學(xué)習(xí)處理底數(shù)、真數(shù)都不同的對數(shù)式的大小比較的第二種方法——圖象法
2、
對于圖象法，在同一坐標(biāo)系中畫出每個函數(shù)的圖象，然后找真數(shù)對應(yīng)的點，通過點的高低判斷大小關(guān)系
3、
還額外介紹了獨特的函數(shù)構(gòu)造法。它的關(guān)鍵在于，要發(fā)現(xiàn)一系列對數(shù)式存在的代數(shù)結(jié)構(gòu)上的規(guī)律
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1、對數(shù)型復(fù)合函數(shù)求定義域依然遵行“由外向內(nèi)”的原則。對于外層為對數(shù)函數(shù)的類型，首先要保證真數(shù)$f(x)$大于$0$，然后再考慮內(nèi)層函數(shù)$f(x)$的定義域。切忌隨意合并原函數(shù)，否則會改變定義域。對于內(nèi)層為對數(shù)函數(shù)的類型，首先考慮外層函數(shù)$y=f(u)$的定義域，求出$u$的范圍，即$log_{a}x$的范圍，再求出$x$的范圍，得到定義域
2、
過定點的問題也非常簡單，對于外層為對數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)。若$f(m)=1$，則圖象過定點$(m,0)$。對于內(nèi)層為指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，圖象過定點$(1,f(0))$
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1、對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性依然遵循“同增異減”的原則，千萬不要忘記真數(shù)大于$0$的定義域的潛在限定
2、
對于組合型的對數(shù)型復(fù)合函數(shù)，先嘗試根據(jù)組合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律來判斷，如果行不通，就要進(jìn)行合并，但要先求定義域，因為合并會改變原函數(shù)定義域
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1、學(xué)習(xí)外層為對數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，$y=log_{a}f(x)$的值域求解技巧
2、
原理是先在定義域的基礎(chǔ)上求出內(nèi)層函數(shù)$y=log_{a}u$的值域，再將它作為外層對數(shù)函數(shù)的定義域，從而求出$y$的范圍，即復(fù)合函數(shù)值域
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1、學(xué)習(xí)一類常見題型：什么情況下$y=log_{a}f(x)$的定義域為$R$，什么情況下它的值域為$R$
2、
若定義域為$R$，真數(shù)$f(x)$必須恒大于$0$，反映在圖象上就是$f(x)$圖象完全在$x$軸上方
3、
若值域為$R$，則需要$(0，+∞)$是$u$的子集，即$f(x)$值域的子集。反映在圖象上，就是$f(x)$的值域要能覆蓋$y$軸的正半軸
4、
如果把值域由$R$改成其他區(qū)間，處理方法也一樣。注意，借助圖象研究會更直觀
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1、講解一道對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與值域相結(jié)合的問題，同學(xué)們要認(rèn)真體會涉及到的解題技巧
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1、學(xué)習(xí)內(nèi)層為對數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的值域求解技巧，基本方法還是和普通復(fù)合函數(shù)求值域的方法一樣，結(jié)合圖象去分析
2、
需要注意使用的技巧主要有：對數(shù)式化同底，和含參
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1、講解一道含參數(shù)和化同底這兩個技巧相結(jié)合的題目，同學(xué)們要認(rèn)真體會各種技巧的巧妙使用
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1、講解一道極難的綜合題，這一道題含金量很高，體現(xiàn)了非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，同學(xué)們要注意體會
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